Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Συνεχίσαμε με το ζήτημα της παραγωγισιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης. Εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές. Παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση προβλήματος αρχικών τιμών δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική όπως και άλλα συναφή ζητήματα. Οι λόγοι που ισχύουν αυτές οι αναπαραστάσεις αφορούν στην θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων.

Το θεώρημα της παραγωγισιμότητας συνεπάγεται άμεσα ότι οι δυναμοσειρές με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης είναι ομαλές συναρτήσεις στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης τους. Εργαστήκαμε για την εξαγωγή της μορφής των παραγώγων αυθαίρετης τάξης βασιζόμενοι και στην μορφή της κ-τάξης παραγώγου πολυωνυμικής συνάρτησης και είδαμε εφαρμογές στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς.

Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το παραμφερές ζήτημα της ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης. Είδαμε ότι το αόριστο ολοκλήρωμα τέτοιας υπάρχει, είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο, και το ίδιο εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης και προκύπτει με την όρο προς όρο ολοκλήρωση της αρχικής. Επομένως και εξαιτίας του τελευταίου αυτές είναι εύκολα ολοκληρώσιμες συναρτήσεις ενώ θυμηθείτε η ολοκλήρωση είναι διαδικασία πιθανόν περιπλοκότερη από την παραγώγιση. Εξάγαμε έτσι τον γενικό τύπο του ολοκληρώματος.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ασκήσεις.

1. Να βρεθούν οι παράγωγοι κ-τάξης για τις παρακάτω δυναμοσειρές (αγνοήστε το ζήτημα του αν αυτές έχουν ή όχι εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης-γιατί είναι δυνατόν να το κάνετε;):

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. .

2. Για ποιές από τις παραπάνω περιπτώσεις οι παράγωγοι είναι καλώς ορισμένοι;