Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην θεωρία των δυναμοσειρών. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα αλγεβρικά συμπληρώματα των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, αντιπαραδείγματα αλλά και περιπτώσεις που η ταυτοποίηση μιας σειράς συναρτήσεων ως δυναμοσειράς είναι δυνατόν να απαιτεί κάποιον κατάλληλο μετασχηματισμό.

Δεδομένων των παραπάνω, ασχοληθήκαμε καταρχάς με το ζήτημα της συγκλισής τους, οπότε και διατυπώσαμε το θεώρημα Cauchy-Hadamard που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών. Σκιαγραφήσαμε (και) μέσω του κριτηρίου του πηλίκου την απόδειξη του θεωρήματος, ενώ είδαμε ότι στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης η σύγκλιση της δυναμοσειράς είναι απόλυτη, το διάστημα σύγκλισης είναι δυνατόν να περιέχει κάποιο ή και τα δύο άκρα του (εφόσον υπάρχουν), αυτό είναι αδύνατο να διερευνηθεί μέσω του κριτηρίου του πηλίκου, ενώ η σύγκλιση σε κάποιο από αυτά ή και στα δύο (εφόσον ισχύει) μπορεί να είναι κατά συνθήκη. Διερευνήσαμε παραδείγματα, ενώ ασχοληθήκαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους.

Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες των δυναμοσειρών. Καταρχάς διατυπώσαμε το θεώρημα συνέχειας που μας πληροφορεί ότι οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα συγκλισής τους. Η απόδειξη αυτού είναι δυνατόν να προκύπτει από έννοιες εκτός του εύρους του μαθήματος (δείτε π.χ. εδώ και εδώ), αλλά επί της ουσίας μας πληροφορεί ότι για της δυναμοσειρές επιτρέπεται κάποιου είδους εναλλαγή ορίων. Εντυπωσιακότερο είναι το θεώρημα παραγωγισιμότητας δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, στο εσωτερικό αυτού, που επιτρέπει επίσης κάποιου εναλλαγή ορίου, και συνεπάγεται ότι η παράγωγος είναι επίσης δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης που ταυτίζεται με το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης της αρχικής, ενώ υπολογίζεται πολύ εύκολα από την αρχική δυναμοσειρά. Θα δούμε ότι αυτό έχει αρκετές εφαρμογές.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ασκήσεις

Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών: