Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Σύνοψη Διαλέξεων 15ης-16ης (2017-18)

Δευτέρα, 27 Νοεμβρίου 2017 - 1:39 π.μ.
- από τον χρήστη ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ

Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τρεις ισοδύναμους τρόπους. Ο τρίτος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του σημειακού ορίου ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. (Και) μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε είναι δυνατόν η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν ισχυρότερες μορφές ορίου που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες. Δεδομένων των παραπάνω, της δυνατότητας κατα σημείο πρόσθεσης πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού, και των όσων ξέρουμε για τις πραγματικές σειρές, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;). Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ασκήσεις

  1. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} x/i!.
  2. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i! .
  3. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1).
  4. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1).
  5. Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το X=(0,1).
  6. Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;
  7. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i! χωρίς την χρήση του κριτηρίου.
  8. Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.
  9. Να επαναλάβετε το ζητούμενο στην 8 όταν το X=\mathbb{R} με X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i.

 

 0   0
Σχόλια (0)