Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την λειτουργία του κριτηρίου του πηλίκου. Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει, είτε όταν αυτό ισούται με ένα. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Κλείσαμε την εισαγωγική μας ενασχόληση με τις πραγματικές σειρές εργαζόμενοι σε δύο απλά οικονομικά υποδείγματα που αφορούν στα νομισματικά και χρηματοοικονομικά όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Το πρώτο αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων. Στο δεύτερο βάσει κατάλληλων εννοιών της χρηματοοικονομικής ασχοληθήκαμε με περιοριστικό ορισμό και τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της χρηματοοικονομικής φούσκας. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τέλος, και προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ασκήσεις

1. Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.
2. Να δείξετε ότι αν η ακολουθία των πηλίκων των διαδοχικών όρων είναι φραγμένη από πάνω από φράγμα μικρότερο του 1 τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως.
3. Να δείξετε ότι η ακολουθία των πηλίκων των διαδοχικών όρων είναι φραγμένη από κάνω από φράγμα μεγαλύτερο του 1 τότε η σειρά αποκλίνει.
4. Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε αυστηρά στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι συμβαίνει με την τιμή του τίτλου όταν δεν ισχύει η συνθήκη μη ύπαρξης φούσκας.
5. Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε αυστηρά στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε  στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων ();
6. Στην σελίδα 6 εδώ από παραδρομή έχουμε ταύτιση των παραδειγμάτων 3 και 5. Στο 5 αντικαταστήστε την εμφανιζόμενη σειρά με την . Χρησιμοποιήστε το κριτήριο του πηλίκου προκειμένου να αποφανθείτε για το ζήτημα της απόλυτης σύγκλισης της σειράς.