Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Σύνοψη Διαλέξεων 11ης-12ης (2017-18)

Κυριακή, 12 Νοεμβρίου 2017 - 5:41 π.μ.
- από τον χρήστη ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ

Συνεχίσαμε με την εξέταση στοιχείων του λογισμού σειρών, χρησιμοποιώντας πλέον την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών". Έτσι, π.χ. σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων, διαπιστώσαμε το πως μπορούμε να μετασχηματίζουμε δείκτες άθροισης χρησιμοποιώντας γνησίως αύξοντες μετασχηματισμούς κ.ο.κ. Ασχοληθήκαμε με ασκήσεις όπου καλούμασταν να αποφανθούμε για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει. Σε αυτές η φραγή της σχετικής Α.Μ.Α. προέκυπτε από την επιλογή κατάλληλης πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν ήταν γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.

Προκειμένου για την διατύπωση ενός σχετικού αλγορίθμου, η επιλογή του οποίου έγινε και λόγω της χρησιμοτητάς στα παρακάτω ασχοληθήκαμε με μια εκλέπτυνση της σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την απόλυτη σύγκλιση. Δείξαμε ότι πρόκειται περί γνήσιας εκλέπτυνσης, ενώ η σύντομη μας αναφορά στο Θεώρημα Σειρών του Riemann και στο ότι όταν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, μας βοηθά να γενικεύσουμε τα των μετασχηματισμών των δεικτών στο να ισχύουν και για απλώς 1-1 και επί μετασχηματισμούς όταν η σειρά συγκλίνει απολύτως. 

Έτσι μπορέσαμε και  διατυπώσαμε το Κριτήριο του Πηλίκου το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει (π.χ. αναμένουμε να είναι μη πληροφοριακό όταν η σειρά συγκλίνει κατά συνθήκη-ενώ θα δούμε ότι δεν είναι μόνο τότε) και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.

Πρόχειρες σημειώσεις (και κάποιες ασκήσεις) για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ και εδώ.

Ασκήσεις (λύστε τις παρακάτω τόσο χρησιμοποιώντας όσο και μη χρησιμοποιώντας το κριτήριο του πηλίκου).

  1. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!} συγκλίνει για κάθε x\geq 0.
  2. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m <1 αποκλίνει.
  3. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m})) για όποιο m>1 συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την \sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m})) ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).
  4. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1} αποκλίνει.

   

 1   0
Σχόλια (0)