Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Επιστροφή

Σύνοψη Διαλέξεων 9ης-10ης (2017-18)

Σάββατο, 4 Νοεμβρίου 2017 - 2:28 π.μ.

Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση της πραγματικής σειράς ως "απειροπληθούς αθροίσματος" των όρων πραγματικής ακολουθίας. Χρειάστηκαμε την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα όπως αυτό της γεωμετρικής, της αρμονικής, της εναλλάσουσας αρμονικής και της υπεραρμονικής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συνακόλουθα σειρών όπου αυτές υπάρχουν). Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειμγάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, γενικά τα ζητήματα α) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και β) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.

Εστιάζοντας κυρίως στο α), ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμειώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι π.χ. είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη, εξετάσαμε ζητήματα άλγεβρας, κ.ο.κ. Θα οδηγηθούμε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ασκήσεις

Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.
Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;
Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς $a$ προσπαθήστε να βρείτε την $\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}$ όταν $|a|<1,\: a\neq 0$ .
Αν $\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}$ υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η $\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})$ και γιατί;
Ισχύει ότι $\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}$ ; Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει κάποια από τις δύο σειρές στην δεξιά πλευρά και να υπάρχει η σειρά στην αριστερή πλευρά της εν λόγω ισότητας;
Να δείξετε ότι $\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0$ όταν η σειρά $\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}$ υπάρχει.
Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.