Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Προκειμένου για την διατύπωση περαιτέρω στοιχείων του λογισμού των ορίων μεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους καθολικούς ποσοδείκτες ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Είδαμε πως εφαρμόζεται αυτός σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες απου απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην αρχή της μεταφοράς. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς ενός γενικού παραδείγματος.

Ακολούθως, και προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα μέσω των όσων έχουμε κάνει μέχρι τώρα αναφερθήκαμε στην έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων πραγματικής ακολουθίας ως πρώτο βήμα για την ενασχόληση μας με τις πραγματικές σειρές.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Ασκήσεις

1. Εξάγετε τις αποδείξεις όλων των αποτελεσμάτων αντικαθιστώντας στον ορισμό του ορίου τα ανοικτά με κλειστά διαστήματα.
2. Δείξτε το Λήμμα (Μοναδικότητα) αποκλειστικά μέσω του αναλυτικού ορισμού.
3. Δείξτε ότι η ακολουθία την πρώτων αριθμών είναι αποκλίνουσα.
4. Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.
5. Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.
6. Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.
7. Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η συγκλίνει στο 1.
8. Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η δεν συγκλίνει σε όποιον πραγματικό διάφορο του 1.
9. Να δείξετε ότι το γινόμενο φραγμένης με συγκλίνουσα στο μηδέν ακολουθία είναι ακολουθία που επίσης συγκλίνει στο μηδέν. Θα ήταν δυνατόν να συμβαίνει κάτι τέτοιο ακόμη και αν η πρώτη δεν ήταν φραγμένη αλλά αποκλίνουσα;