Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ξεκινήσαμε με την διατύπωση και την απόδειξη σημαντικής ιδιότητας των ακολουθιών που είναι ταυτόγχρονα φραγμένες και μονότονες, η οποία μας προετοίμασε για τον ακριβή ορισμό της έννοιας του  ορίου. Η ιδιότητα αυτή σχετίζεται με μια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης (ή ασθενέστερα φραγμένης από πάνω) και αύξουσας ακολουθίας "γύρω από" το sypremum της και δυικά με την ίδια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης (ή ασθενέστερα φραγμένης από κάτω) και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της. Στην απόδειξη έπαιξε σημαντικό ρόλο το γεγονός ότι εξαιτίας της μονοτονίας, π.χ. για την περίπτωση της αύξουσας ακολουθίας,  όταν άπειρο πλήθος όρων της ακολουθίας είναι μικρότερο ή ίσο από ένα φράγμα τότε κάθε όρος της ακολουθίας είναι επίσης μικρότερος ή ίσος από το εν λόγω φράγμα.

Το παραπάνω μας έδωσε την αφορμή για την ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες, ότι όταν το όριο υπάρχει είναι μοναδικό, και ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειράς από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και εαν είναι στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ή ότι όταν μια ακολουθία είναι π.χ. αύξουσα και σχεδόν κάθε όρος της φράσσεται κατ' απόλυτη τιμή από πάνω από την απόλυτη τιμή αντίστοιχου όρου συγκλίνουσας ακολουθίας τότε και η πρώτη έχει supremum  και συγκλίνει σε αυτό.

Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής αν έχουμε στην διάθεση μας κάποιον ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό του ορίου, τον οποίο και αφήσαμε για τις επόμενες διαλέξεις.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Άσκηση:

Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε υπακολουθία (για τον ορισμό δείτε την Άσκηση 1 εδώ) συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.