Στατιστική ΙΙ

Στο 7ο φροντιστήριο εστιάσαμε στην έννοια των ροπών και είδαμε τις ιδιότητες που πρέπει να ικανοποιούνται έτσι ώστε η ροπή κ-τάξης να είναι καλώς ορισμένη. Ακολούθως, υπολογίσαμε τις ροπές 1ης και 2ης τάξης για ένα πλήθος κατανομών όπως, εκθετική, Γάμμα, Weibull, κ.α.

Σημειώσεις μπορείτε να βρείτε στους παρακάτω συνδέσμους,

Κατανομές Στους Πραγματικούς: Ολοκλήρωση και Ροπές

Περαιτέρω Παραδείγματα Υπολογισμού Ροπών

Φροντιστήριο 7

Συνεχίσαμε με περαιτέρω παραδείγματα υπολογισμού και σχετικού σχολιασμού αναφορικά με ροπές σε διάφορες περιπτώσεις κατανομών πιθανότητας. Παρατηρήσαμε, π.χ. στο παράδειγμα των εκθετικών κατανομών ότι είναι δυνατόν να υπάρχει σύνδεση μεταξύ ροπών διαφορετικής τάξης μέσω αναδρομικών σχέσεων. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. 

Στο τελευταίο φροντιστήριο ασχοληθήκαμε με την έννοια της συνάρτησης πυκνότητας μιας κατανομής και προσδιορίσαμε τις αναγκαίες συνθήκες προκειμένου η f(probability density function, pdf) να υπάρχει (Θεώρημα Ύπαρξης) και να χαρακτηρίζεται (Θεώρημα Χαρακτηρισμού). Ακολούθως, εφαρμόσαμε τις παραπάνω έννοιες σε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Για περισσότερες πληροφορίες, ακολουθείστε τους παρακάτω συνδέσμους:
Κατανομές Πιθανότητας στους Πραγματικούς- Συνάρτηση Πυκνότητας
Ομάδα Ασκήσεων 3 (2018)
και στις σημ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια των ροπών κατανομής πιθανότητας δίνοντας σχόλια και ιδιότητες που αφορούν ανάμεσα στα άλλα σε ζητήματα ύπαρξης, σχέσης των δύο εκδοχών, αναπαράστασης ιδιοτήτων της κατανομής από αυτές. Ασχοληθήκαμε με την ερμηνεία και την απόδειξη της ανισότητας του Markov. Συνεχίσαμε με περαιτέρω παραδείγματα υπολογισμού και σχετικού σχολιασμού αναφορικά με ροπές σε διάφορες περιπτώσεις κατανομών πιθανότητας. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Συνεχίσαμε με υπολογισμούς ολοκληρωμάτων της εκθετικής συνάρτησης ως προς παραδείγματα κατανομών που έχουμε ήδη ορίσει. Στο παράδειγμα της εκθετικής κατανομής εξάγαμε περιπτώσεις μη ύπαρξης του σχετικού ολοκληρώματος εξαιτίας της απόκλισης του προς κάποιο άπειρο.

Σχολιάσαμε το ζήτημα της αναπάραστασης κατανομής από τον κατάλογο που αποτελείται από την ολοκλήρωση ως προς αυτή κάθε σχετικής συνάρτησης, οπότε και αντιληφθήκαμε κάθε κατανομή πιθανότητας ως κάποιου είδους "διαδικασία ολοκλήρωσης" πρα

Συνεχίσαμε με περαιτέρω παραδείγματα κατανομών που έχουν συναρτήσεις πυκνότητας. Έτσι π.χ. στα πλαίσια του παραδείγματος της εκθετικής κατανομής και εξαιτίας της μη παραγωγισιμότητας της αθροιστικής στο 0, προέκυψε η μη μοναδικότητα της συνάρτησης πυκνότητας. Παρατηρήσαμε ότι η συμβατική εκδοχή της συνάρτησης πυκνότητας είναι και η μοναδική για την οποία έχουμε συνέχεια της πυκνότητας στο στήριγμα. Ανάλογους συλλογισμούς εξετάσαμε στα πλαίσια του παραδείγματος της ομοιόμορφης κατανομής. Τέλος ορ

Στο 5ο φροντιστήριο διακρίναμε τις τρεις κατηγορίες κατανομών, ανάλογα με το στήριγμά τους:
α.Διακριτές,
β.Συνεχείς,
γ.Μεικτές
Επιπροσθέτως, ακολουθήσαμε συγκεκριμένη μεθοδολογία προκειμένου να αποδείξουμε ότι, η εκάστοτε αθροιστική κατανομή F(x), που μας δίνεται, είναι πράγματι αθροιστική και ορίζει καλώς την κατανομή πιθανότητας P(x) στο R.
Τέλος, σχεδιάσαμε τα γραφήματα για κάθε μία από τις κατανομές που εξετάσαμε.
Για περισσότερες πληροφορίες, μπορείτε να ανατρέξετε στις σημειώσεις του μαθήμα

Συνεχίσαμε την εξέταση του παραδείγματος της οικογένειας των κανονικών κατανομών. Μέσω αυτού του παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι υπάρχει περίπτωση η αθροιστική συνάρτηση να έχει την μορφή κατάλληλου ολοκληρώματος, και χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα του Gauss, και (κάπως καταχρηστικά) τον κανόνα παραγώγισης του Leibniz, δείξαμε το καλώς ορισμένο αυτής. Σημειώσεις για το εν λόγω παράδειγμα μπορείτε να βρείτε εδώ.

Μέσω αυτής της παρατήρησης οδηγηθήκαμε στην έννοια της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής

Στο 4ο φροντιστήριο του μαθήματος μιλήσαμε γενικά για την μορφή της Διωνυμικής Κατανομής(Binomial), είδαμε πως μπορούμε(παράδειγμα) να υπολογίσουμε απλές πιθανότητες χρησιμοποιώντας τον τύπο της και εξηγάγαμε την αθροιστική(CDF) της κατανομής. Επιπρόσθετα, μας δόθηκε κατανομή Poisson, τυχαία μεταβλητή Χ1(z)=-z και επιτυχώς υπολογίσαμε

α. το στήριγμά της,
β. τη συνάρτηση πιθανότητάς της και
γ. την αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας που προκύπτει από τη μεταφορά της P μέσω της συνάρτησης Χ

Στο 3ο φροντιστήριο, ορίσαμε την αθροιστική συνάρτηση, είδαμε τις ιδιότητές της και πως μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητες για τις παρακάτω κατανομές: εκφυλισμένη στο R, Bernoulli και Poisson. Περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να βρείτε στους παρακάτω συνδέσμους:

Αθροιστική Κατανομή
Επισήμανση τυπογραφικού λάθους φροντιστήριο 3
Φροντιστήριο 3