Στατιστική ΙΙ

Ξεκινήσαμε το πρώτο μέρος του μαθήματος που άπτεται της εξέτασης βασικών εννοιών στην θεωρία πιθανοτήτων. Παρατηρήσαμε ότι το βασικό αντικείμενο της θεωρίας, δηλαδή η κατανομή πιθανότητας (δείτε και εδώ) μπορεί σε αδρες γραμμές να περιγραφεί ως μηχανισμός απόδοσης μεγέθους (ή ισοδύναμα μέτρησης) σε "κομμάτια" δεδομένου συνόλου, δηλαδή ως συνολοσυνάρτηση με πεδίο ορισμού κατάλληλη συλλογή από σύνολα, που ικανοποιεί ιδιότητες σχετικές με διαδικασίες μέτρησης.

Προκειμένου να καταλάβουμε το πως κατα

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω αυστηρή μαθηματική θεμελίωση εννοιών της θεωρίας πιθανοτήτων και διαδικασιών στατιστικής επαγωγής. Παιδαγωγικά μέσω της εν λόγω θεμελίωσης γίνεται ευχερής ο ορισμός, η επέκταση και η κατανόηση των ιδιοτήτων περισσότερο περίπλοκων διαδικασιών όπως αυτές που θα συναντηθούν στα μετέπειτα μαθήματα της Οικονομετρίας.

Ως στατιστική επαγωγή νοείται το σύνολο των διαδικασιών επίλυσης του στατιστικού προβλήματος. Στατιστικό ονομάζεται όποιο πρόβλημα αφορά στην εύρεσ

Συνεχίσαμε με την εξαγωγή των εκφράσεων πιθανοτήτων που αποδίδονται από την υποκείμενη κατανομή σε υποσύνολα των πραγματικών, μέσω της αθροιστικής της συνάρτησης. Ξεκινήσαμε την εξέταση παραδειγμάτων (και αντιπαραδείγματος) κατασκευής και περιγραφής κατανομών πιθανότητας μέσω των αντίστοιχων αθροιστικών. Σε αυτό το πλαίσιο ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το παράδειγμα της ομοιόμορφης κατανομής.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Τους πίνακες της υβριδικής διάλεξης μπορεί

Συνεχίσαμε με την εν μέρει εξαγωγή χαρακτηριστικών ιδιοτήτων που μας οδήγησαν στο θεώρημα χαρακτηρισμού της αθροιστικής συνάρτησης, και το χρησιμοποιήσαμε προκειμένου να δούμε το πως περαιτέρω ιδιότητες των κατανομών αντανακλώνται στις αθροιστικές τους, και στο πως μπορούμε να υπολογίζουμε πιθανότητες βάσει της αθροιστικής.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Τους πίνακες των υβριδικών διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του περυσιν

Τελειώσαμε με την εισαγωγή στα παραδείγματα των διακριτών κατανομών εξετάζοντας περαιτέρω το παράδειγμα της διωνυμικής κατανομής και της κατανομής Poisson. Δείτε εδώ συμπλήρωμα που αφορά στην ερμηνεία των διακριτών κατανομών που εξετάσαμε στις διαλέξεις.

Θυμηθήκαμε την ταξινόμηση των κατανομών βάσει του στηρίγματος και αρχίσαμε την εξέταση περαιτέρω εννοιών που τις αναπαριστόύν. Ξεκινήσαμε με την αθροιστική συνάρτηση. Πέραν της εξέτασης του ορισμού και κάποιων αρχικών παραδειγμάτων, αρχίσαμε να

Συνεχίσαμε την διερεύνηση  της έννοιας του στηρίγματος. Είδαμε ότι μας χρησιμεύει στο να α) διευκολύνουμε σε κάποιες περιπτώσεις τον υπολογισμό των ιθανοτήτων που αποδίδει η κατανομή και β) να ταξινομήσουμε τις κατανομές στο μέσω των ιδιοτήτων των στηριγμάτων τους.

Δεδομένης της προαναφερθείσας ταξινόμησης, ασχοληθήκαμε καταρχάς με τον ορισμό και ιδιότητες των διακριτών κατανομών. Μέσω των όσων εξατάσαμε για το στήριγμα, και επειδή στις συγκεκριμένες κατανομές το στήριγμα είναι διακριτό, δείξαμ

Δεδομένου του ορισμού της κατανομής πιθανότητας, και χρησιμοποιώντας την προεργασία μας, προχωρήσαμε στην εξαγωγή περαιτέρω ιδιοτήτων των κατανομών, όπως η μονοτονία, και παρατηρήσαμε ότι  κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών.

Εξετάσαμε τις έννοιες των αμελητέων συνόλων και των δυικών τους συνόλων πλήρους πιθανότητας, και είδαμε ότι τα τελευτ