Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία. "Γενικεύσαμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και δείξαμε την ισοδυναμία των δύο

Χρησιμοποιώντας το ζεύγος των ορισμών ασχοληθήκαμε καταρχάς με ζητήματα συμβολισμών, ενώ παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν κάποιες πραγματικές ακολουθίες να περιγράφονται πληρως ως μοναδικές λύσεις αναδρομικών σχέσεων με αρχικές συνθήκες. 

Είδαμε παραδείγματα πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι διανυσματικός χώρος) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.

Στην συνέχεια και χρησιμοποι

Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται του μαθήματος, όπως τις διαθέσιμες διαδικασίες επικοινωνίας πέραν των διαλέξεων (με έμφαση στο παρόν eclass), το εκπαιδευτικό υλικό (διαλέξεις, αναρτήσεις σημειώσεων – αποριών κ.λ.π.), την δυνατότητα παράδοσης λύσεων σε ασκήσεις για βελτίωση του τελικού βαθμού, κ.ο.κ. Τα παραπάνω περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ. Στην συνέχεια έγινε περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρο

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την μέθοδο των δυναμοσειρών με παράδειγμα δευτεροτάξιας γραμμικής και ομογενούς εξίσωσης. Στην συνέχεια είδαμε εισαγωγική εφαρμογή της θεωρίας των δυναμοσειρών στην θεωρία πιθανοτήτων. Αυτό συνίσταται στο ερώτημα του πότε μια κατανομή πιθανότητας στους πραγματικούς αναπαρίσταται από την ακολουθία των ροπών της. Την απάντηση μας την δίνει η έννοια της ροπογεννήτριας συνάρτησης της κατανομής (moment generating function) η οποία μπορεί να εκφρασθεί ως δυναμοσειρά κα

Δεδομένης της (αποσπαματικής) παρουσίασης γενικών εννοιών για την θεωρία των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων ασχοληθήκαμε με την μέθοδο των δυναμοσειρών που αφορά στην εύρεση λύσεων που έχουν την μορφή δυναμοσειράς με δεδομένο κέντρο. Η μέθοδος συνίσταται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης,

Συνεχίσαμε με το ζήτημα ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης παρατηρώντας ότι ο τρόπος της ολοκλήρωσης μας επιτρέπει (γιατί;) να έχουμε μια μοναδική σταθερά ολοκλήρωσης (όπως άλλωστε θα περιμέναμε) συνδυάζοντας τις σταθερές που προκύπτουν από την όρο προς όρο ολοκλήρωση σε μία. Εργαζόμενοι για μια ακόμη φορά με την γεωμετρική σειρά και το θεώρημα ολοκλήρωσης, αποκτήσαμε παράδειγμα όπου (α) η αρχική δυναμοσειρά και το ολοκλήρωμα ή η παράγωγος έχουν διαφορετικά διαστ

Συνεχίσαμε με το ζήτημα της παραγωγισιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης. Εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές. Παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση προβλήματος αρχικών τιμών δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν

Ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην θεωρία των δυναμοσειρών. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα αλγεβρικά συμπληρώματα των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, αντιπαραδείγματα αλλά και πε

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την εφαρμογή που άπτεται σε ζητήματα επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης.

Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"), είναι μη κένο, και αποτελείται από (ομοιόμορφα) φραγμέ

Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τρεις ισοδύναμους τρόπους. Ο τρίτος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του σημειακού ορίου ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων