Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την μέθοδο των δυναμοσειρών με παράδειγμα δευτεροτάξιας γραμμικής και ομογενούς εξίσωσης. Στην συνέχεια είδαμε εισαγωγική εφαρμογή της θεωρίας των δυναμοσειρών στην θεωρία πιθανοτήτων. Αυτό συνίσταται στο ερώτημα του πότε μια κατανομή πιθανότητας στους πραγματικούς αναπαρίσταται από την ακολουθία των ροπών της. Την απάντηση μας την δίνει η έννοια της ροπογεννήτριας συνάρτησης της κατανομής (moment generating function) η οποία μπορεί να εκφρασθεί ως δυναμοσειρά κα

Δεδομένης της (αποσπαματικής) παρουσίασης γενικών εννοιών για την θεωρία των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων ασχοληθήκαμε με την μέθοδο των δυναμοσειρών που αφορά στην εύρεση λύσεων που έχουν την μορφή δυναμοσειράς με δεδομένο κέντρο. Η μέθοδος συνίσταται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης,

Συνεχίσαμε με το ζήτημα ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης παρατηρώντας ότι ο τρόπος της ολοκλήρωσης μας επιτρέπει (γιατί;) να έχουμε μια μοναδική σταθερά ολοκλήρωσης (όπως άλλωστε θα περιμέναμε) συνδυάζοντας τις σταθερές που προκύπτουν από την όρο προς όρο ολοκλήρωση σε μία. Εργαζόμενοι για μια ακόμη φορά με την γεωμετρική σειρά και το θεώρημα ολοκλήρωσης, αποκτήσαμε παράδειγμα όπου (α) η αρχική δυναμοσειρά και το ολοκλήρωμα ή η παράγωγος έχουν διαφορετικά διαστ

Συνεχίσαμε με το ζήτημα της παραγωγισιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης. Εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές. Παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση προβλήματος αρχικών τιμών δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν

Ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην θεωρία των δυναμοσειρών. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα αλγεβρικά συμπληρώματα των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, αντιπαραδείγματα αλλά και πε

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την εφαρμογή που άπτεται σε ζητήματα επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης.

Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"), είναι μη κένο, και αποτελείται από (ομοιόμορφα) φραγμέ

Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τρεις ισοδύναμους τρόπους. Ο τρίτος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του σημειακού ορίου ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την λειτουργία του κριτηρίου του πηλίκου. Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν

Συνεχίσαμε με την εξέταση στοιχείων του λογισμού σειρών, χρησιμοποιώντας πλέον την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών". Έτσι, π.χ. σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων, διαπιστώσαμε το πως μπορούμε να μετασχηματίζουμε δείκτες άθροισης χρησιμοποιώντας γνησίως αύξοντες μετασχηματισμούς κ.ο.κ. Ασχοληθήκαμε με ασκήσει

Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση της πραγματικής σειράς ως "απειροπληθούς αθροίσματος" των όρων πραγματικής ακολουθίας. Χρειάστηκαμε την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα όπως αυτό της γεωμετρικής, της αρμονικής, της εναλλάσουσας αρμονικής και της υπεραρμονικής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συνακόλουθα σει