Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Ασχοληθήκαμε με το ζήτημα ύπαρξης και εύρεσης του ορισμένου ολοκληρώματος δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και είδαμε ότι αυτό προκύπτει από το αόριστο βάσει του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού εφόσον τα όρια της ολοκλήρωσης ανήκουν στο διάστημα σύγκλισης (προσοχή! αυτή είναι και η σωστή συνθήκη, που διορθώνει τη συνθήκη που αναφέρεται στις σημειώσεις η οποία λέει ότι το ανοικτό διάστημα που συγκροτείται από τα όρια της ολοκλήρωσης πρέπει να είναι υποσύνολο του διαστήματος

Το θεώρημα της παραγωγισιμότητας συνεπάγεται άμεσα ότι οι δυναμοσειρές με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης είναι ομαλές συναρτήσεις στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης τους. Εργαστήκαμε για την εξαγωγή της μορφής των παραγώγων αυθαίρετης τάξης βασιζόμενοι και στην μορφή της κ-τάξης παραγώγου πολυωνυμικής συνάρτησης και είδαμε εφαρμογές στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς. Υπολογίζοντας τις παραγώγους στο κέντρο (γιατί είναι δυνατόν αυτό;), αποκτήσαμε αναπαραστάσεις των συντελεστών της δυναμο

Καταρχάς ασχοληθήκαμε με την διερεύνηση παραδειγμάτων ως προς το θεώρημα Cauchy-Hadamard, και συνεχίσαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι δύο δυναμοσειρές με το ίδιο κέντρο είναι ίσες ανν οι συντελεστές τους είναι κατά σημείο ίσοι, ενώ περισσότερο περίπλοκες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών είναι δυνατόν να χρειάζονται για την διατύπωση ισότητας μεταξύ δυναμοσειρών με διαφορετικά κέντρα. Αναλόγως το άθροισ

Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. 

Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου πο

Συνεχίσαμε με το δεύτερο παράδειγμα όπου και βάσει κατάλληλων εννοιών της χρηματοοικονομικής ασχοληθήκαμε με περιοριστικό ορισμό και τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της χρηματοοικονομικής φούσκας. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος)

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την λειτουργία του κριτηρίου του πηλίκου. Μέσω σκιαγράφησης μέρους της απόδειξης του, παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι η περί

Στα προηγούμενα, ασχοληθήκαμε με ασκήσεις όπου καλούμασταν να αποφανθούμε για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει. Σε αυτές η φραγή της σχετικής Α.Μ.Α. προέκυπτε από την επιλογή κατάλληλης πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν ήταν γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.

Στα πλαίσια του παραπάνω, συνεχίσαμε με την εξέταση στοιχείων του λογισμού σειρών, χρησιμοποιώντας πλέον την καταχρηστική ορολογία πο

Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση της πραγματικής σειράς ως "απειροπληθούς αθροίσματος" των όρων πραγματικής ακολουθίας. Χρειάστηκαμε την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της γεωμετρικής, της αρμονικής, της εναλλάσουσας αρμονικής και της υπεραρμονικής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συ

Προκειμένου για την διατύπωση περαιτέρω στοιχείων του λογισμού των ορίων μεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους ποσοδείκτες ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Είδαμε πως εφαρμόζεται αυτός σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει

Τα προηγούμενα αποτελέσματα για την ασυμπτωτική συμπεριφορά μονότονων και φραγμένων ακολουθιών μας προετοίμασαν για την ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες, ότι όταν το όριο υπάρχει είναι μοναδικό, και ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειράς από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην δι