Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.

Στα πλαίσια αυτού, ασχοληθήκαμε με ασκήσεις όπου καλούμασταν να αποφανθούμε γι

Προκειμένου για την διατύπωση περαιτέρω στοιχείων του λογισμού των ορίων μεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους ποσοδείκτες ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Είδαμε πως εφαρμόζεται αυτός σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει

Συνεχίζοντας τα προηγούμενα αποδειξαμε και διατυπώσαμε σημαντική ιδιότητα των ακολουθιών που είναι ταυτόγχρονα φραγμένες και μονότονες και η οποία σχετίζεται με μια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας "γύρω από" το sypremum της και δυικά με την ίδια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.

Το παραπάνω μας προετοίμασε για την ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής

Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. "Γενικεύσαμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και παρατηρήσαμε την ισοδυναμία μεταξύ των δύο εννοιών. Δείξαμε ότι η ισοδυναμία αυτή μπορεί να είναι χρήσιμη στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.

Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δε

Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.

Δείξαμε ότι η ιδιότητα της φραγής δεν προσδιορίζεται από κανένα πεπερασμένο υποσύνολο της ακολουθίας αλλά

Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων. Παρατηρήσαμε ότι η σχεδόν παντού ισότητα περιλαμβάνει την συνήθη ισότητα ως υποπερίπτωση, είναι και αυτή α

Η πρώτη διάλεξη είχε τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται του μαθήματος, όπως τις διαθέσιμες διαδικασίες επικοινωνίας πέραν των διαλέξεων (με έμφαση στο παρόν eclass), το εκπαιδευτικό υλικό (διαλέξεις, αναρτήσεις σημειώσεων – αποριών κ.λ.π.), την δυνατότητα παράδοσης λύσεων σε ασκήσεις για βελτίωση του τελικού βαθμού, κ.ο.κ. Πέραν του ζητήματος της προαιρετικής παράδοσης λύσεων ασκήσεων που θα διασαφηνισθεί σε μελλοντικές ανακοινώσεις, τα παραπάνω περιγράφονται στην σύνοψη του μαθή

Ασχοληθήκαμε με το ζήτημα ύπαρξης και εύρεσης του ορισμένου ολοκληρώματος δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και είδαμε ότι αυτό προκύπτει από το αόριστο βάσει του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού εφόσον τα όρια της ολοκλήρωσης ανήκουν στο διάστημα σύγκλισης (προσοχή! αυτή είναι και η σωστή συνθήκη, που διορθώνει τη συνθήκη που αναφέρεται στις σημειώσεις η οποία λέει ότι το ανοικτό διάστημα που συγκροτείται από τα όρια της ολοκλήρωσης πρέπει να είναι υποσύνολο του διαστήματος

Το θεώρημα της παραγωγισιμότητας συνεπάγεται άμεσα ότι οι δυναμοσειρές με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης είναι ομαλές συναρτήσεις στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης τους. Εργαστήκαμε για την εξαγωγή της μορφής των παραγώγων αυθαίρετης τάξης βασιζόμενοι και στην μορφή της κ-τάξης παραγώγου πολυωνυμικής συνάρτησης και είδαμε εφαρμογές στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς. Υπολογίζοντας τις παραγώγους στο κέντρο (γιατί είναι δυνατόν αυτό;), αποκτήσαμε αναπαραστάσεις των συντελεστών της δυναμο

Καταρχάς ασχοληθήκαμε με την διερεύνηση παραδειγμάτων ως προς το θεώρημα Cauchy-Hadamard, και συνεχίσαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι δύο δυναμοσειρές με το ίδιο κέντρο είναι ίσες ανν οι συντελεστές τους είναι κατά σημείο ίσοι, ενώ περισσότερο περίπλοκες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών είναι δυνατόν να χρειάζονται για την διατύπωση ισότητας μεταξύ δυναμοσειρών με διαφορετικά κέντρα. Αναλόγως το άθροισ