Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την λειτουργία του κριτηρίου του πηλίκου. Μέσω σκιαγράφησης μέρους της απόδειξης του, παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι η περί

Στα προηγούμενα, ασχοληθήκαμε με ασκήσεις όπου καλούμασταν να αποφανθούμε για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει. Σε αυτές η φραγή της σχετικής Α.Μ.Α. προέκυπτε από την επιλογή κατάλληλης πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν ήταν γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.

Στα πλαίσια του παραπάνω, συνεχίσαμε με την εξέταση στοιχείων του λογισμού σειρών, χρησιμοποιώντας πλέον την καταχρηστική ορολογία πο

Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση της πραγματικής σειράς ως "απειροπληθούς αθροίσματος" των όρων πραγματικής ακολουθίας. Χρειάστηκαμε την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της γεωμετρικής, της αρμονικής, της εναλλάσουσας αρμονικής και της υπεραρμονικής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συ

Προκειμένου για την διατύπωση περαιτέρω στοιχείων του λογισμού των ορίων μεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους ποσοδείκτες ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Είδαμε πως εφαρμόζεται αυτός σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει

Τα προηγούμενα αποτελέσματα για την ασυμπτωτική συμπεριφορά μονότονων και φραγμένων ακολουθιών μας προετοίμασαν για την ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες, ότι όταν το όριο υπάρχει είναι μοναδικό, και ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειράς από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην δι

Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία. "Γενικεύσαμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και δείξαμε την ισοδυναμία των δύο

Χρησιμοποιώντας το ζεύγος των ορισμών ασχοληθήκαμε καταρχάς με ζητήματα συμβολισμών, ενώ παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν κάποιες πραγματικές ακολουθίες να περιγράφονται πληρως ως μοναδικές λύσεις αναδρομικών σχέσεων με αρχικές συνθήκες. 

Είδαμε παραδείγματα πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι διανυσματικός χώρος) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.

Στην συνέχεια και χρησιμοποι

Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται του μαθήματος, όπως τις διαθέσιμες διαδικασίες επικοινωνίας πέραν των διαλέξεων (με έμφαση στο παρόν eclass), το εκπαιδευτικό υλικό (διαλέξεις, αναρτήσεις σημειώσεων – αποριών κ.λ.π.), την δυνατότητα παράδοσης λύσεων σε ασκήσεις για βελτίωση του τελικού βαθμού, κ.ο.κ. Τα παραπάνω περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ. Στην συνέχεια έγινε περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρο

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την μέθοδο των δυναμοσειρών με παράδειγμα δευτεροτάξιας γραμμικής και ομογενούς εξίσωσης. Στην συνέχεια είδαμε εισαγωγική εφαρμογή της θεωρίας των δυναμοσειρών στην θεωρία πιθανοτήτων. Αυτό συνίσταται στο ερώτημα του πότε μια κατανομή πιθανότητας στους πραγματικούς αναπαρίσταται από την ακολουθία των ροπών της. Την απάντηση μας την δίνει η έννοια της ροπογεννήτριας συνάρτησης της κατανομής (moment generating function) η οποία μπορεί να εκφρασθεί ως δυναμοσειρά κα

Δεδομένης της (αποσπαματικής) παρουσίασης γενικών εννοιών για την θεωρία των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων ασχοληθήκαμε με την μέθοδο των δυναμοσειρών που αφορά στην εύρεση λύσεων που έχουν την μορφή δυναμοσειράς με δεδομένο κέντρο. Η μέθοδος συνίσταται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης,