Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ασχοληθήκαμε με την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Έτσι, και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της μονότονης πραγματικής συνάρτησης, διερευνήσαμε ζητήματα μονοτονίας για τις πραγματικές ακολουθίες. Δείξαμε επίσης ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας. Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. Παρόλα

Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Συνεχίσαμε με την διατύπωση και απόδειξη βοηθητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο αφορά στην διακρίβωση της φραγής μέσω της κατα σημείο σύγκρισης με κατάλληλη βοηθητική ακολουθία. Στο δεύτερο δείξαμε ότι η ιδιότητα της φραγής δεν προσδιορίζεται από κανένα πεπερασμένο υποσύνολο της ακολουθίας αλλά εξαρτάται από την συμπεριφορά του υπόλοιπου απειροπληθούς μέρους της. Αυτό μας επέτρεψε να "γενικεύσουμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρ

Εδώ μπορείτε να βρείτε σχετικές διορθώσεις.

Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων. Γενικεύοντας θεωρήσαμε ότι μια ιδιότητα P θα ικανοποιείται σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία αν κ

Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ.

Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται εδώ. 

Τους πίνακες της από απόστασης εν λόγω διάλεξης μπορ

• Στην σελίδα 1 των αναρτημένων σημειώσεων που βρίσκονται εδώ αναφέρεται η πρόταση "επειδη το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας μη αρνητικών όρων δεν μπορεί να είναι θετικό" αντί του ορθού (γιατί;) "επειδη το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας μη θετικών όρων δεν μπορεί να είναι αυστηρά θετικό".
• Στην σελίδα 5 των αναρτημένων σημειώσεων που βρίσκονται εδώ στην περίπτωση 3, αναφέρεται η ισοδυναμία  αντί της ορθής  οπότε και θα πρέπει να καταλήξουμε στο  να είναι ο μικρότερος φυσικός που είναι μεγαλύτερος ίσος

Χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα, εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές.

Στην συνέχεια παρατηρήσαμε ότι το θεώρημα της παραγωγισιμότητας συνεπάγεται άμεσα ότι οι δυναμοσειρές με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης είναι ομαλές συναρτήσεις στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης τους. Εργαστήκαμε για την εξαγωγή της μορφής των παραγώγω

Δεδομένης της προηγούμενης διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας επί του εφικτού συνόλου και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την μορφή σειράς συναρτήσεων και εμφάνιζε τα χαρακτηριστ

Προχωρήσαμε με το παράδειγμα τιμολόγησης χρηματοοικονομικού τίτλου εκφράζοντας υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της χρηματοοικονομικής φούσκας.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρεί

Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".

Προκειμένου για την διατύπωση ευχερούς αλγορίθμου για την διακρίβωση του αν δεδομένη σειρά είναι συγκλίνουσα, ασχοληθήκαμε με  εκλέπτυνση της σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της απόλυτης σύγκλισης. Δείξαμε ότι πρόκειται περί γνήσιας εκλέπτυνσης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το Θεώρημα Σειρών του Riemann και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδ