Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την λειτουργία του κριτηρίου του πηλίκου. Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν

Συνεχίσαμε με την εξέταση στοιχείων του λογισμού σειρών, χρησιμοποιώντας πλέον την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών". Έτσι, π.χ. σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων, διαπιστώσαμε το πως μπορούμε να μετασχηματίζουμε δείκτες άθροισης χρησιμοποιώντας γνησίως αύξοντες μετασχηματισμούς κ.ο.κ. Ασχοληθήκαμε με ασκήσει

Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση της πραγματικής σειράς ως "απειροπληθούς αθροίσματος" των όρων πραγματικής ακολουθίας. Χρειάστηκαμε την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα όπως αυτό της γεωμετρικής, της αρμονικής, της εναλλάσουσας αρμονικής και της υπεραρμονικής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συνακόλουθα σει

Προκειμένου για την διατύπωση περαιτέρω στοιχείων του λογισμού των ορίων μεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους καθολικούς ποσοδείκτες ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Είδαμε πως εφαρμόζεται αυτός σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογ

Ξεκινήσαμε με την διατύπωση και την απόδειξη σημαντικής ιδιότητας των ακολουθιών που είναι ταυτόγχρονα φραγμένες και μονότονες, η οποία μας προετοίμασε για τον ακριβή ορισμό της έννοιας του  ορίου. Η ιδιότητα αυτή σχετίζεται με μια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης (ή ασθενέστερα φραγμένης από πάνω) και αύξουσας ακολουθίας "γύρω από" το sypremum της και δυικά με την ίδια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης (ή ασθενέστερα φραγμένης από κάτω) και φθίνουσας ακολουθία

Καταρχάς δείξαμε ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι αυτοπαθής, συμμετρική και μεταβατική οπότε ως σχέση έχεις παρόμοιες ιδιότητες με την συνήθη ισότητα (τέτοιου είδους σχέσεις ονομάζονται σχέσεις ισοδυναμίας).

Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ασχοληθήκαμε με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Έτσι, διερευνώντας με λεπτομέρεια τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής συνάρτησης καταλήξαμε στο πότε μια πραγματική ακολουθία έχει την ιδιότητα της φρα

Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται του μαθήματος, όπως τις διαθέσιμες διαδικασίες επικοινωνίας πέραν των διαλέξεων (με έμφαση στο παρόν eclass), το εκπαιδευτικό υλικό (διαλέξεις, αναρτήσεις σημειώσεων – αποριών κ.λ.π.), την δυνατότητα παράδοσης λύσεων σε ασκήσεις για βελτίωση του τελικού βαθμού, κ.ο.κ. Τα παραπάνω περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ. Στην συνέχεια έγινε περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρο