Θεώρημα 2.7 : Έστω V υπόχωρος του και S = { ₁ ,₂ , . . . , _k } ορθογώνια βάση του.
Το σύνολο S΄ = { ^{, , . . . ,} } αποτελεί ορθοκανονική βάση του V.

Απόδειξη :
Πρώτα θα αποδείξουμε ότι το S΄ αποτελεί βάση του V. Θεωρούμε την διανυσματική εξίσωση

λ1 + λ2 + . . . + λk =

σχέση (2.3)

Ας υποθέσουμε ότι έχει μη-μηδενική λύση , π.χ. την λ₁ = t₁, λ₂ = t₂ , . . . , λ_k = t_k, οπότε έχουμε t₁ + t₂ + ^{. . .} + t_k = Όμως σ' αυτήν την περίπτωση η διανυσματική εξίσωση λ₁₁ + λ₂₂ + . . . +λ_kk = θα έχει επίσης μη-μηδενική λύση την λ₁ = , λ₂ = , . . . , λ_k = . Κάτι τέτοιο όμως δεν μπορεί να ισχύει διότι το S είναι βάση, και άρα η σχέση (2.3) έχει για λύση της, μόνον την μηδενική. Επομένως το S΄ είναι σύνολο γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων.
Έστω V , θα υπάρχουν αριθμοί t₁ , t₂ , . . . , t_k τέτοιοι ώστε : = t₁₁ + t₂₂ + . . . + t_2k = t₁ + t₂ + . . . + t_k Επομένως κάθε στοιχείο V , μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του S΄. Άρα το S΄ αποτελεί βάση του V .
Η βάση αυτή είναι ορθογώνια, διότι για i , j = 1 , 2 , . . . , k όπου i j ,
. Προφανώς το S΄ είναι και ορθοκανονική βάση, διότι κάθε στοιχείο της είναι και μοναδιαίο διάνυσμα.

---