Μάθημα : Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές

ΕΒΔΟΜΑΔΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

1^η

1. Στοιχεία και πράξεις στον Rⁿ.

στοιχεία: σημεία και διανύσματα, γεωμετρικός και αλγεβρικός ορισμός

πράξεις: κανόνες και γεωμετρική ερμηνεία

2. Ευθείες και επίπεδα στον Rⁿ.

αλγεβρικός ορισμός των εξισώσεων της ευθείας και του επιπέδου και γεωμετρική ερμηνεία

3. Μήκος, εσωτερικό γινόμενο και ορθογωνιότητα . (Πηγές: Strang 3.2)

Πυθαγόρειο, ορισμός και πράξεις εσωτερικού γινομένου, ορθογωνιότητα, γωνία διανυσμάτων

2^η

3. (συνέχεια) (Πηγές: Strang 3.2)

Προβολή σε ευθεία, Γεωμετρική και αλγεβρική λύση της εξίσωσης , ανισότητα Cauchy-Schwartz, τριγωνική ανισότητα

4. Γεωμετρική ερμηνεία συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. (Πηγές: Strang 1.2 )

Παράδειγμα  R3 : λύση συστήματος εξισώσεων ως τομή επιπέδων και λύση ως γραμμικός συνδυασμός στηλών, ιδιαίτερα: συζήτηση της ιδιόμορφης περίπτωσης

3^η

5. Συμβολισμός και πολλαπλασιασμός πινάκων. (Πηγές: Strang 1.4)

Ορισμός πίνακα, διανύσματα στηλών, γραμμών, γραφή γραμμικού συστήματος, Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα, με πίνακα, πολ./μος διαμερισμένων πινάκων, Κανόνες, στοιχειώδεις πίνακες, γραφή βήματος Gauss με πίνακες.

4^η

6. Γραμμικά συστήματα: απαλοιφής Gauss και η παραγοντοποίηση PΑ=LDU (Πηγές: Strang 1.3, 1.5)

Παράδειγμα απαλοιφής Gauss, οδηγοί, θεραπεύσιμη & μη θεραπεύσιμη περίπτωση, Τριγωνικοί παράγοντες και εναλλαγές γραμμών, η παραγοντοποίηση Α=LU (κάτω τριγωνικός * άνω τριγωνικός), γραμμικό σύστημα=2 τριγωνικά, μη ιδιόμορφη περίπτωση PΑ=LDU (P μεταθέσεις γραμμών)

5^η

7. Αντίστροφοι και ανάστροφοι. (Πηγές: Str 1.6)

Αντίστροφοι: ορισμός, κανόνες, υπολογισμός με στοιχειώδεις μετατροπές (Gauss-Jordan), αντιστρέψιμος = μη ιδιόμορφος, Ανάστροφοι, κανόνες, συμμετρικός πίνακας και η παραγοντοποίηση A=LDL^T

8. Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι. (Πηγές: Strang 2.1)

διανυσματικοί χώροι-υπόχωροι: ορισμοί παραδείγματα, Χώρος στηλών του Α και λύσεις γραμμικού συστήματος, Μηδενόχωρος του Α

6^η

8. (συνέχεια) Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι. (Πηγές: Strang 2.1)

Χώρος στηλών του Α και λύσεις γραμμικού συστήματος, Μηδενόχωρος του Α

9. Λύση m εξισώσεων με n αγνώστους. (Πηγές: Strang 2.2)

γενική κλιμακωτή μορφή, PΑ=LU, στήλες με οδηγούς και χωρίς, ελεύθερες και βασικές μεταβλητές, τάξη πίνακα, λύση ειδική και ομογενούς, διάκριση περιπτώσεων: προϋποθέσεις για ύπαρξη και μονοσήμαντο της λύσης

7^η

10. Γραμμική ανεξαρτησία, βάσεις και διάσταση. (Πηγές: Strang 2.3)

ορισμός, ανεξαρτησία για στήλες και γραμμές κλιμακωτού πίνακα, έλεγχος ανεξαρτησίας με λύση γραμμικού συστήματος, παραγωγή υπόχωρου, παραγωγή και χώρος στηλών πίνακα, βάση, παραγωγή και στήλες πίνακα με οδηγούς, διάσταση, συμπλήρωση βάσης

11. Οι 4 θεμελιώδεις υπόχωροι. (Πηγές: Strang 2.4)

μηδενόχωρος και χώρος στηλών του Α και του Α^Τ: κατασκευή βάσεων από στοιχεία (στήλες, οδηγούς) της διάσπασης Α=LU.

Θεμελιώδες Θεώρημα της Γραμμικής Άλγεβρας Ι (Διαστάσεις των 4 υποχώρων)

8^η

12. Γραμμικοί μετασχηματισμοί. (Πηγές: Strang 2.6)

ορισμός, ο πίνακας που αντιστοιχεί σε γραμ. μετασχημ. από R^m στον Rⁿ.

γινόμενο / αντιστροφή πινάκων = σύνθεση / αντιστροφή απεικονίσεων

Παραδείγματα: στροφή, προβολή, αντανάκλαση.

13. Ορθογωνιότητα. (Πηγές: Strang 3.1)

Ορθογώνιοι υπόχωροι, ορθογώνιο συμπλήρωμα,  διάσπαση διανύσματος σε άθροισμα από ορθογώνια.

Θεμελιώδες Θεώρημα της Γραμμικής Άλγεβρας ΙΙ (Ορθογωνιότητα  των 4 υποχώρων)

9^η

14. Προβολές και προσεγγίσεις ελάχιστων τετραγώνων. (Πηγές: Strang 3.3)

προβολή σε μία και πολλές μεταβλητές, ελάχιστα τετράγωνα, ο πίνακας Α^ΤΑ, πίνακας προβολών

15. Ορθογώνιοι πίνακες και Gramm-Schmidt. (Πηγές: Strang 3.4)

ορισμός, αντίστροφος, ισομετρία, πίνακες με ορθοκανονικές στήλες, σχέση με προβολές.

10^η

15. (συνέχεια) Ορθογώνιοι πίνακες και Gramm-Schmidt. (Πηγές: Strang 3.4)

ορθογωνιοποίηση Gramm-Schmidt,  παραγοντοποίηση A=QR.

16. Ορίζουσες πίνακα (Πηγές: Strang 4.1-4.3)

εισαγωγή: όγκος παραλληλεπιπέδου, βασικές ιδιότητες, παράγωγες ιδιότητες, ανάπτυξη σε συμπαράγοντες

11^η

17. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. (Πηγές: Strang 5.1, 5.2)

ορισμός, παραδείγματα, διαγώνια μορφή πίνακα, δυνάμεις πίνακα

18. Διαγώνια μορφή πίνακα (Πηγές: Strang 5.2, 5.5, 5.6)

κατασκευή διαγωνιοποίησης, όμοιοι πίνακες, συμμετρικοί πίνακες: Φασματικό θεώρημα

12^η

19. Γεωμετρική ερμηνεία γραμμικών μετασχηματισμών (Strang 5.6).

συντεταγμένς ως προς βάση, αλλαγή συντεταγμένων, όμοιοι πίνακες, γεωμετρική ερμηνεία μέσω ομοιότητα με διαγώνιο

13^η

20. Τετραγωνικές μορφές σε συμμετρικούς πίνακες (Strang 6.2-6.3).

ορισμός, θετική ορισιμότητα, πηλίκο Raleygh, κριτήρια θετικής ορισιμότητας, ελλειψοειδή στις ν διαστάσεις (ισοϋψείς καμπύλες)