ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ (Ακ. Έτος 2016-17)

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με σχετικές έννοιες της νόρμας εξετάζοντας π.χ. ιδιότητες και παραδείγματα. Παρόλο που στα πλαίσια του μαθήματος ασχολούμαστε μόνο με νόρμες που προκύπτουν από σχετικά εσωτερικά γινόμενα, παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν η έννοια να αποσυνδεθεί από αυτή του εσωτερικού γινομένου και ότι υπάρχουν νόρμες που δεν προκύπτουν από εσωτερικά γινόμενα. Ασχοληθήκαμε με την έννοια του κανονικού διανύσματος (ως προς δεδομένη νόρμα), την κανονικοποίηση διανύσματος (που είναι εφικτή ανν αυτό δεν είναι το μηδενικό) και τις συνακόλουθες έννοιες του κανονικού συνόλου από διανύσματα και της κανονικοποίησης μη κενού, πεπερασμένου και μη περιέχοντος το μηδενικό διάνυσμα, συνόλου.

Είδαμε ότι σε όποιο χώρο εσωτερικού γινομένου (εφοδιασμένου και με την νόρμα που προκύπτει από αυτό) είναι εφικτός ο ορισμός της γωνίας μεταξύ διανυσμάτων εφόσον αυτή περιοριστεί κατάλληλα και χωρίς απώλεια γενικότητας ώστε η συνάρτηση συνημίτονο να είναι 1-1. Αυτό αποτελεί γενίκευση της ανάλογης γεωμετρικής κατασκευής σε Ευκλείδιους. Αυτό μας δίνει την δυνατότητα να αποφανθούμε ότι δύο διανύσματα σε χώρο εσωτερικού γινομένου είναι ορθογώνια ανν το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ τους είναι ίσο με μηδέν. Γενικεύσαμε στον ορισμό του ορθογώνιου συνόλου ως όποιου συνόλου από διανύσματα τα οποία είναι ανα δύο μεταξύ τους ανεξάρτητα. Αποδείξαμε ότι όποιο ορθογώνιο σύνολο δεν περιέχει το μηδενικό διάνυσμα είναι αναγκαστικά γραμμικά ανεξάρτητο και έτσι οηγηθήκαμε στην έννοια της ορθογώνιας και της ορθοκανονικής βάσης. Η τελευταία προκύπτει όταν το σύνολο έχει και την ιδιότητα της κανονικότητας. 

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.