ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ (Ακ. Έτος 2016-17)

Ολοκληρώσαμε την ανασχόληση μας με τις έννοιες της βάσης και της διάστασης παρατηρώντας ότι κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο αποτελεί εξ ορισμού βάση του υποχώρου που αυτό παράγει. Επίσης είδαμε ότι η έννοια της διάστασης είναι δυνατόν να μας προσφέρει πληροφορία για το αν ένα σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο ή/και παράγει δεδομένο υποχώρο χωρίς να χρειάζονται υπολογισμοί. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Οι μέχρι τώρα εξεταζόμενες έννοιες είναι αλγεβρικές και δεν επιτρέπουν γενικά την απόδοση γεωμετρικών ή/και αναλυτικών ιδιοτήτων σε διανυσματικούς χώρους. Ένας τρόπος προκειμένου για την διερεύνηση τέτοιων εννοιών προκύπτει μέσω της εισαγωγής συνάρτησης εσωτερικού γινομένου σε δεδομένο διανυσματικό χώρο. Είδαμε τον γενικό ορισμό όποιας τέτοιας συνάρτησης, ιδιότητες της που προκύπτουν από αυτόν και παραδείγματα σε διάφορους διανυσματικούς χώρους. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε δεδομένο διανυσματικό χώρο να μπορούν να ορισθούν πέραν του ενός εσωτερικά γινόμενα, και αποκτήσαμε έτσι την έννοια του χώρου εσωτερικού γινομένου. Παρατηρήσαμε ότι από κάθε εσωτερικό γινόμενο αντιστοιχεί νόρμα η οποία αποδίδει έννοια μήκους σε κάθε διάνυσμα του χώρου, και ενέχει και αναλυτικά χαρακτηριστικά (π.χ. η ανισότητα Cauchy-Schwarz που συνδέει το εσωτερικό γινόμενο με το γινόμενο των σχετικών νορμών, ή η τριγωνική ανισότητα που αναγκαστικά ικανοποιεί κάθε νόρμα και γενικεύει την ανάλογη σχέση που έχουμε υπόψη σε Ευκλείδιους χώρους). Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.