ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ (Ακ. Έτος 2016-17)

Συνεχίσαμε με την εξέταση περαιτέρω παραδειγμάτων και γενικών ιδιοτήτων της έννοιας του γραμμικού συνδυασμού. Αποδείξαμε ότι αν κάποιο διάνυσμα αποτελεί γραμμικό συνδυασμό σχετικού συνόλου τότε αποτελεί και γραμμικό συνδυασμό και όποιου (πεπερασμένου) υπερσυνόλου αυτού. Συνεπώς η ιδιότητα δεν αλλοιώνεται όταν μεταβαίνουμε σε υπερσύνολα, αλλά είναι δυνατόν να αλλοιώνεται όταν μεταβαίνουμε σε υποσύνολα του αρχικού συνόλου. Αυτό που μπορεί να αλλάζει στην μετάβαση σε υπερσύνολα είναι το ότι ενδεχομένως να μεταβαίνουμε από σύστημα εξισώσεων με μοναδική λύση σε σύστημα με πάνω από μία λύσεις, και έτσι να χάνεται η "οικονομικότητα" του γραμμικού συνδυασμού. 

Επεκτείνοντας τα παραπάνω εξετάσαμε το πότε ένα μη κενό και πεπερασμένο υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου παράγει (γραμμικά) έναν υποχώρο αυτού, μέσω της έννοιας του γραμμικού συνδυασμού. Εξετάσαμε παραδείγματα και παρατηρήσαμε ότι αν το σύνολο παράγει τον υποχώρο τότε και οποιοδήποτε υπερσύνολο αυτού τον παράγει επίσης (ενδεχομένως με απώλεια της "οικονομικότητας" όπως παραπάνω), ενώ κάτι τέτοιο δεν ισχύει όταν μεταβαίνουμε σε υποσύνολα. Συνεπώς αναρωτηθήκαμε ποιό μπορεί να είναι το μικρότερο πλήθος από στοιχεία του χώρου που παράγει δεδομένο υποχώρο.

Δεδομένου ενός συνόλου από διανύσματα αναρωτηθήκαμε τι ιδιότητες έχει η συλλογή από τα διανύσματα του χώρου που προκύπτουν ως γραμμικοί συνδυασμοί του συνόλου. Δείξαμε ότι αυτή είναι διανυσματικός υποχώρος και χρησιμοποιώντας αυτό ορίσαμε τις έννοιες του χώρου στηλών και χώρου γραμμών πραγματικής μήτρας.

Προσπαθώντας να απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα που άπτεται και της παραπάνω "οικονομικότητας" ξεκινήσαμε να εξετάζουμε την έννοια της γραμμικής ανεξαρτησίας.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.