ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ (Ακ. Έτος 2016-17)

Εξάγαμε πορίσματα που προκύπτουν από τις ιδιότητες που προβλέπει ο ορισμός του διανυσματικού χώρου για τις πράξεις, τα οποία συμφωνούν με ανάλογες ιδιότητες που έχουμε στους πραγματικούς. Έτσι π.χ. είδαμε ότι το αντίθετο διανύσματος είναι αναγκαστικά μοναδικό, το μηδενικό διάνυσμα είναι μοναδικό, δεν είναι δυνατή η μηδενοδιαίρεση, ενώ αποκτούμε το αντίθετο πολλαπλασιάζοντας το αρχικό με -1.

Είδαμε περαιτέρω παραδείγματα διανυσματικών χώρων όπως αυτός των μητρών της ίδιας διάστασης και των πραγματικών συναρτήσεων επί κοινού πεδίου ορισμού όταν αυτά εφοδιάζονται με τις ανάλογες πράξεις που έχουμε μελετήσει. Οπότε η έννοια του διανύσματος μπορεί να είναι αρκετά γενικότερη από αυτή που έχουμε συνηθίσει, ως διάταξη πραγματικών αριθμών. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Κατασκευάσαμε παράδειγμα διανυσματικού χώρου τα στοιχεία του οποίου είναι λύσεις συγκεκριμένης διαφορικής εξίσωσης. Επ'αφορμή αυτού οδηγηθήκαμε στην έννοια του (διανυσματικού) υποχώρου, ως όποιου μη κενού υποσυνόλου του αρχικού που είναι επίσης διανυσματικός χώρος (εφοδιασμένο με τις ίδιες πράξεις περιορισμένες στο υποσύνολο). Αποδείξαμε ότι ένα υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου είναι υποχώρος ανν είναι κλειστό ως προς τις δύο πράξεις. Το αναγκαίο είναι εμφανές. Για το επαρκές, παρατηρήσαμε ότι οι ιδιότητες 1,2,5,6,7,8 του ορισμού που εμπλέκουν μόνο τον όρο "για κάθε" θα ισχύουν αναγκαστικά στο υποσύνολο επειδή ισχύουν εξ'ορισμού στο υπερσύνολο. Για τις 3,4 που εμπλέκουν (και) τον όρο "υπάρχει" είδαμε ότι αυτές ικανοποιούνται εξαιτίας της κλειστότητας του υποσυνόλου ως προς τις πράξεις και επειδή παίρνουμε το μηδενικό διάνυσμα πολλαπλασιάζοντας με τον αριθμό μηδέν και το αντίθετο πολλαπλασιάζοντας με -1. Ξεκινήσαμε να εξετάζουμε περαιτέρω παραδείγματα. Σημειώσεις για αυτά μπρείτε να βρείτε εδώ.