ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ (Ακ. Έτος 2016-17)

Συνεχίσαμε με την έννοια του ιδιοδιανύσματος και συνακόλουθα του ιδιοχώρου που αντιστοιχεί σε ιδιοτιμή τετραγωνικής μήτρας. Παρατηρήσαμε ότι αυτά αναπαριστούν σημαντικές ιδιότητες της μήτρας ως "γραμμικό μετασχηματιστή", ενώ ασχοληθήκαμε με περαιτέρω ιδιότητες των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων κάποιες από τις οποίες μας επέτρεψαν να συμπληρώσουμε το παρακάτω βασικό αποτέλεσμα:

Αν η Α είναι τετραγωνική nxn μήτρα, τα παρακάτω είναι ισοδύναμα:

1. η A είναι αντιστρέψιμη,
2. ο βαθμός της Α ισούται με n,
3. όλες οι ιδιοτιμές της είναι διάφορες του μηδενός,
4. η ορίζουσα της Α είναι διάφορη του μηδενός,
5. ο χώρος στηλών της Α είναι ο ,
6. ο χώρος γραμμών της Α είναι ο ,
7. το σύστημα  έχει μοναδική λύση την  για όποιο .

Παρατηρήσαμε ότι αν η Α είναι συμμετρική τότε όλες οι ιδιοτιμές της είναι πραγματικές και έχει ορθοκανονικό σύνολο ιδιοδιανυσμάτων. Αυτό μας οδήγησε στην έννοια της ορθογώνιας διαγωνιοποίησης συμμετρικής μήτρας (ως ειδική περίπτωση της γενικότερης έννοιας της διαγωνιοποίησης μήτρας) κάτι που χρησιμοποιήσαμε στην (δεδομένης της εν λόγω παραγοντοποίησης) στην διευκόλυνση του υπολογισμού φυσικών (και ακέραιων εφόσον έχουμε αντιστρεψιμότητα) δυνάμεων και συνακόλουθα του εκθετικού της Α, και στην επέκταση στην έννοια της δύναμης της Α σε πραγματικούς εκθέτες εφόσον οι ιδιοτιμές της μπορούν να υψωθούν σε αυτούς. Τλειώσαμε με εφαρμογή της έννοιας του εκθετικού σε ζητήματα "δυναμικής ευστάθειας" δυναμικών συστημάτων.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ και εδώ.