ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ (Ακ. Έτος 2016-17)

Στο 4ο Φροντιστήριο επαναλάβαμε τις έννοιες της ιδιάζουσας μήτρας καθώς και της γραμμικής εξάρτησης/ανεξαρτησίας μεταξύ των διανυσμάτων ενός πίνακα (μήτρας). Οι φοιτητές έμαθαν τρόπους εύρεσης αντιστρόφου πίνακα με τις μεθόδους της προσαρτημένης μήτρας (adjoint matrix) και των Gauss-Jordan. Μπήκαμε επίσης στην εφαρμογή του αντίστοφου πίνακα στην επίλυση συστημάτων και μιλήσαμε για τα συμβιβαστά και τα αδύνατα συστήματα.

Εξετάσαμε περαιτέρω στοιχεία της γεωμετρίας των χώρων εσωτερικού γινομένου όπως το πυθαγόρειο θεώρημα, καθώς και τον αλγόριθμο ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt ο οποίος δεδομένου ότι κάθε διανυσματικός χώρος έχει βάση μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι κάθε χώρος εσωτερικού γινομένου (τουλάχιστον πεπερασμένης διάστασης) έχει ορθοκανονική βάση.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με σχετικές έννοιες της νόρμας εξετάζοντας π.χ. ιδιότητες και παραδείγματα. Παρόλο που στα πλαίσια του μαθήματος ασχολούμαστε μόνο με νόρμες που προκύπτουν από σχετικά εσωτερικά γινόμενα, παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν η έννοια να αποσυνδεθεί από αυτή του εσωτερικού γινομένου και ότι υπάρχουν νόρμες που δεν προκύπτουν από εσωτερικά γινόμενα. Ασχοληθήκαμε με την έννοια του κανονικού διανύσματος (ως προς δεδομένη νόρμα), την κανονικοποίηση διανύσματος (που είναι εφικτ

Ολοκληρώσαμε την ανασχόληση μας με τις έννοιες της βάσης και της διάστασης παρατηρώντας ότι κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο αποτελεί εξ ορισμού βάση του υποχώρου που αυτό παράγει. Επίσης είδαμε ότι η έννοια της διάστασης είναι δυνατόν να μας προσφέρει πληροφορία για το αν ένα σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο ή/και παράγει δεδομένο υποχώρο χωρίς να χρειάζονται υπολογισμοί. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Οι μέχρι τώρα εξεταζόμενες έννοιες είναι αλγεβρικές και δεν επιτρέπουν γεν

Στο τρίτο φροντιστήριο συνεχίστηκαν ασκήσεις του φυλλαδίου 2 (2.1 και 2.2) και καλύφθηκαν οι έννοιες της ορίζουσας (determinant), της τάξης/βαθμού (rank) ενός πίνακα, της γραμμικής εξάρτησης/ανεξαρτησίας διανυσμάτων και της ιδιάζουσας μήτρας.

Συνεχίσαμε την εξέταση της έννοιας της γραμμικής ανεξαρτησίας. Παρατηρήσαμε ότι ένα σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο ανν δεν υπάρχει διάνυσμα σε αυτό που να μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Δείξαμε ότι όταν το μηδενικό διάνυσμα βρίσκεται στο σύνολο τότε το τελευταίο είναι πάντοτε γραμμικά εξαρτημένο, το οποίο σημαίνει π.χ. ότι ο υποχώρος που εμπεριέχει μόνο το μηδενικό διάνυσμα δεν έχει μη κενό γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο. Δείξαμε ότι όποιο μη κενό υποσύνολο γραμμικά

Συνεχίσαμε με την εξέταση περαιτέρω παραδειγμάτων και γενικών ιδιοτήτων της έννοιας του γραμμικού συνδυασμού. Αποδείξαμε ότι αν κάποιο διάνυσμα αποτελεί γραμμικό συνδυασμό σχετικού συνόλου τότε αποτελεί και γραμμικό συνδυασμό και όποιου (πεπερασμένου) υπερσυνόλου αυτού. Συνεπώς η ιδιότητα δεν αλλοιώνεται όταν μεταβαίνουμε σε υπερσύνολα, αλλά είναι δυνατόν να αλλοιώνεται όταν μεταβαίνουμε σε υποσύνολα του αρχικού συνόλου. Αυτό που μπορεί να αλλάζει στην μετάβαση σε υπερσύνολα είναι το ότι ενδεχομ

Ασχοληθήκαμε με περαιτέρω παραδείγματα (και άντιπαραδείγματα) υποχώρων. Διερευνήσαμε το αν η ιδιότητα του υποχώρου διατηρείται από τις συνολοθεωρητικές πράξεις οπότε και διαπιστώσαμε ότι το συμπλήρωμα υποχώρου δεν είναι ποτέ υποχώρος, η τομή υποχώρων είναι πάντα υποχώρος, ενώ η ένωση υποχώρων δεν είναι γενικά υποχώρος. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Συνεχίζοντας περάσαμε σε ζητήματα άλγεβρας σε διανυσματικούς χώρους έχοντας υπόψη μας το ερώτημα του αν είναι δυνατόν ένα χώρος να "περ

Εξάγαμε πορίσματα που προκύπτουν από τις ιδιότητες που προβλέπει ο ορισμός του διανυσματικού χώρου για τις πράξεις, τα οποία συμφωνούν με ανάλογες ιδιότητες που έχουμε στους πραγματικούς. Έτσι π.χ. είδαμε ότι το αντίθετο διανύσματος είναι αναγκαστικά μοναδικό, το μηδενικό διάνυσμα είναι μοναδικό, δεν είναι δυνατή η μηδενοδιαίρεση, ενώ αποκτούμε το αντίθετο πολλαπλασιάζοντας το αρχικό με -1.

Είδαμε περαιτέρω παραδείγματα διανυσματικών χώρων όπως αυτός των μητρών της ίδιας διάστασης και των πραγμα

Προχωρήσαμε στην εξέταση παραδειγμάτων βαθμωτού πολλαπλασιασμού στις περιπτώσεις που μας είχαν απασχολήσει και ως προς την πρόσθεση. Αναλόγως τον ορίσαμε κατά σημείο. Εξετάσαμε το αντιπαράδειγμα των ακεραίων που δεν είναι κλειστοί ως προς την εν λόγω πράξη. Στην συνέχεια προχωρήσαμε στον ορισμό του διανυσματικού χώρου, ως  τριάδα που αποτελείται από το σύνολο αναφοράς, και τις δύο πράξεις και ικανοποιεί οκτώ αξιώματα. Αυτά μας επιτρέπουν να επεκτείνουμε τον ορισμό των πράξεων σε πεπερασμένο πλήθ