Μάθημα : Οικονομετρία ΙΙ

Ολοκληρώσαμε την καταρχάς μελέτη του γραμμικού υποδείγματος με οργανικές μεταβλητές στην ειδική περίπτωση της ακριβούς ταυτοποίησης (ταύτιση πλήθους οργανικών μεταβλητών και παλινδρομητών) και εισάγαμε τον εκτιμητή ελαχίστων απολύτων αποκλίσεων (LAD), ως εναλλακτική προς την κλασική μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων.

Δείξαμε ότι στην περίπτωση της ταύτισης, και εφόσον ο παραμετρικός χώρος είναι πλήρης, ο εκτιμητής IV απλοποιείται δραστικά και λαμβάνει μορφή η οποία είναι ανεξάρτητη από τη μήτρα στάθμισης. Η ανεξαρτησία αυτή ερμηνεύεται γεωμετρικά από το γεγονός ότι το σύστημα των δειγματικών ροπών μπορεί να μηδενιστεί ακριβώς, άρα δεν απαιτείται συμβιβασμός μεταξύ διαφορετικών στιγμών. Επιπλέον, δείξαμε ότι η μέθοδος OLS προκύπτει ως ειδική περίπτωση όταν Z=X, εφόσον ισχύει ασθενής εξωγένεια.

Στη συνέχεια επεκτείναμε την ανάλυση σε περιορισμένους παραμετρικούς χώρους. Εκεί αποδείξαμε ότι ο εκτιμητής μπορεί να αναδιατυπωθεί ως λύση ενός προβλήματος ελαχιστοποίησης απόστασης τύπου Mahalanobis από τον απεριορίστο εκτιμητή IV. Η γεωμετρική αυτή αναπαράσταση δείχνει ότι, όταν ο απεριορίστος εκτιμητής δεν ανήκει στον περιορισμένο χώρο, η επιλογή της μήτρας στάθμισης επηρεάζει το αποτέλεσμα, ακόμη και στην περίπτωση ταύτισης. Με άλλα λόγια, η αλγεβρική απλοποίηση της ακριβούς ταυτοποίησης δεν συνεπάγεται πλήρη ανεξαρτησία από το criterion όταν εισάγονται περιορισμοί.

Στο δεύτερο μέρος εισάγαμε τον εκτιμητή LAD, ο οποίος αντικαθιστά την τετραγωνική απώλεια της OLS με την απόλυτη απόκλιση. Αναδείξαμε ότι η επιλογή αυτή αλλάζει θεμελιωδώς το στατιστικό αντικείμενο εκτίμησης: ενώ η OLS στοχεύει στη δεσμευμένη μέση τιμή, η LAD στοχεύει στη δεσμευμένη διάμεσο. Αποδείξαμε ότι η διάμεσος ενός τυχαίου μεγέθους είναι το σημείο που ελαχιστοποιεί την αναμενόμενη απόλυτη απόκλιση, και χρησιμοποιήσαμε αυτό το αποτέλεσμα για να θεμελιώσουμε το γραμμικό υπόδειγμα LAD μέσω υπόθεση για τον μηδενισμό του δεσμευμένου διάμεσου των συνιστωσών των καταλοίπων του υποδείγματος.

Υπό κατάλληλες συνθήκες (ομοιογένεια, ύπαρξη πυκνότητας με θετική τιμή στο μηδέν και πλήρης τάξη της μήτρας των παλινδρομητών), δείξαμε ότι το πληθυσμιακό κριτήριο ελαχιστοποιείται μοναδικά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου. Το δειγματικό ανάλογο οδηγεί στον LAD εκτιμητή, ο οποίος γενικά δεν έχει κλειστή μορφή και ενδέχεται να μην είναι μοναδικός.

Τέλος, τονίσαμε τις υπολογιστικές και γεωμετρικές ιδιαιτερότητες του LAD. Η μη παραγωγισιμότητα της απόλυτης τιμής οδηγεί σε προβλήματα βελτιστοποίησης που επιλύονται συνήθως (αλλά όχι αποκλειστικά) μέσω γραμμικού προγραμματισμού. Σε αυτό το πλαίσιο, η πιθανή ύπαρξη πολλαπλών λύσεων συνδέεται άμεσα με τη γεωμετρία του προβλήματος και μπορεί να οδηγήσει σε εξάρτηση της υπολογιζόμενης λύσης από τον επιλεγμένο αλγόριθμο — ένα φαινόμενο που συνδέεται με τη γενικότερη θεματική του μαθήματος περί σχέσης μεταξύ κριτηρίου, γεωμετρίας του παραμετρικού χώρου, αλγόριθμου επίλυσης, και εκτιμητή.