ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ (Ακ. Έτος 2016-17)

Συνεχίσαμε την εξέταση της έννοιας της γραμμικής ανεξαρτησίας. Παρατηρήσαμε ότι ένα σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο ανν δεν υπάρχει διάνυσμα σε αυτό που να μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Δείξαμε ότι όταν το μηδενικό διάνυσμα βρίσκεται στο σύνολο τότε το τελευταίο είναι πάντοτε γραμμικά εξαρτημένο, το οποίο σημαίνει π.χ. ότι ο υποχώρος που εμπεριέχει μόνο το μηδενικό διάνυσμα δεν έχει μη κενό γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο. Δείξαμε ότι όποιο μη κενό υποσύνολο γραμμικά ανεξάρτητου συνόλου είναι γραμμικά ανεξάρτητο (αυτό σημαίνει ότι όποιοδήποτε υπερσύνολο γραμμικά εξαρτημένου συνόλου είναι γραμμικά εξαρτημένο-γιατί;), ενώ το υπερσύνολο γραμμικά ανεξάρτητου υποσυνόλου είναι δυνατόν να είναι ανεξάρτητο ή εξαρτημένο. Προέκυψε έτσι το ερώτημα το ποιό μπορεί να είναι το μεγαλύτερο πλήθος των στοιχείων του συνόλου προκειμένου αυτό να είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Προκειμένου να αποκτήσουμε την έννοια της αποτελεσματικής περιγραφής συνδυάσαμε τις έννοιες της γραμμικής παραγωγής και της γραμμικής ανεξαρτησίας αποκτώντας την έννοια της (γραμμικής) βάσης ενός διανυσματικού χώρου. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι είναι δυνατόν να υπάρχουν βάσεις, ενώ αποδείξαμε ότι όταν υπάρχει βάση τότε κάθε στοιχείο του χώρου προκύπτει ως γραμμικός συνδυασμός αυτής με μοναδικό τρόπο (και επομένως η έννοια της βάσης είναι αυτή που ψάχναμε εξ αρχής).

Παρατηρήσαμε ότι αν επιτρέπουμε στο σύνολο να μπορεί επίσης να είναι κενό, ή απειροσύνολο, τότε είναι δυνατόν να αποδειχθεί (και η αποδείξη εκφεύγει πολύ από το εύρος του μαθήματος) ότι:

Κάθε διανυσματικός χώρος έχει βάση.

Έτσι π.χ. το παραπάνω μας αναγκάζει λογικά στο να θεωρήσουμε ότι η βάση του υποχώρου που αποτελείται μόνο από το μηδενικό διάνυσμα είναι το κενό. Μέσω παραδειγμάτων διαπιστώσαμε ότι ένας διανυσματικός χώρος είναι δυνατόν να έχει πάνω από μία βάσεις. Όμως είναι δυνατόν να αποδειχθεί (και πάλι η αποδείξη εκφεύγει πολύ από το εύρος του μαθήματος) επίσης ότι κάθε δυνατή βάση του έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων, όποτε οδηγηθήκαμε στην έννοια της διάστασης ενός διανυσματικού χώρου ως το πλήθος των στοιχείων όποιας βάσης αυτού. Όταν η διάσταση δεν είναι πεπερασμένη τότε ο χώρος ονομάζεται απειροδιάστατος (δεν θα ασχοληθούμε ιδιαίτερα με τέτοιους χώρους), ενώ τυπικό παράδειγμα τέτοιου είναι π.χ. το σύνολο των πολυωνυμικών πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται στους πραγματικούς. Τα παραδείγματα μας μας λένε ότι είναι δυνατόν ένας απειροδιάστατος χώρος να έχει υποχώρους πεπερασμένης διάστασης.    

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.