Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε την εξέταση της έννοιας της (πραγματικής) συνολοσυνάρτησης επί συνόλου αναφορά. Εξετάσαμε παραδείγματα και κάποιες ιδιότητες (εν προκειμένω τις μονοτονία και προσθετικότητα) που είναι δυνατόν να έχουν κάποιες από αυτές, που θα είναι χρήσιμες αργότερα καθώς τις έχουν οι κατανομές πιθανότητας.

Προχωρήσαμε στον ορισμό της κατανομής πιθανότητας, ως πραγματικής συνολοσυνάρτησης ορισμένης στην εκάστοτε συλλογή από μετρήσιμα υποσύνολα, η οποία συνάρτηση ικανοποιεί τις ιδιότητες του θετικά ορισμένου, της τυποποίησης και της προσθετικότητας. 

Συνεχίσαμε, χρησιμοποιώντας την προεργασία μας, με την εξαγωγή περαιτέρω ιδιοτήτων των κατανομών, όπως η μονοτονία, και παρατηρήσαμε ότι  κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, και εδώ. Τα σχεδιαγράμματα των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του ακαδημαϊκού έτους 2020-21 βρίσκονται εδώ και εδώ, ενώ εδώ βρίσκονται βιντεοσκοπημένη σύνοψη μέρους αυτών που άπτονται της εξέτασης των συνολοσυναρτήσεων. Προσοχή οι διαλέξεις αυτές δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού. 

Εφόσον ενδιαφέρεστε τα παρακάτω αφορούν στην πιο ακριβή διατύπωση του ορισμού της κατανομής παθανότητας (και είναι εκτός του εύρος του μαθήματος):

Παρατηρήσαμε ότι ο ορισμός της κατανομής πιθανότητας που δώσαμε είναι ημιτελής. Αυτό ισχύει επειδή α. είναι δυνατόν να χρειάζεται να ενισχύσουμε την ιδιότητα της προσθετικότητας ώστε να ισχύει και για αριθμήσιμες (δηλαδή με πλήθος όχι μεγαλύτερο του πλήθους των φυσικών) ενώσεις ανά δύο ξένων μεταξύ τους υποσυνόλων του Ω και β. το σύνολο αναφοράς να είναι απειροπληθές, οπότε είναι δυνατόν να υπάρχουν υποσύνολα του στα οποία δεν μπορούν με συνεπή τρόπο να αποδοθούν πιθανότητες (μη μετρησιμότητα). Το α. μας είναι χρήσιμο επειδή συνεπάγεται χρήσιμες περαιτέρω ιδιότητες για τις κατανομές που βοηθούν στην αναλυτική μελέτη τους, και ονομάζεται αριθμήσιμη προσθετικότητα.

Προκειμένου να ξεπεραστεί η δυσκολία της μη μετρησιμότητας, το πεδίο ορισμού της κατανομής επιτρέπεταινα είναι υποσυλλογή του δυναμοσυνόλου, που θα αποτελείται από τα μετρήσιμα-δηλ. αυτά στα οποία μπορούν και είναι επιθυμητό να αποδοθούν πιθανότητες, υποσύνολά του. Αυτή η υποσυλλογή θα είναι κλειστή ως προς μικρά, δηλαδή αριθμήσιμα, πλήθη συνολοθεωρητικών πράξεων. Όταν το σύνολο αναφοράς είναι πεπερασμένο μπορεί να επιλεγεί να είναι το δυναμοσύνολο, ενώ σε σύνολα αναφοράς όπως οι πραγματικοί, μπορεί να επιλεγεί ώστε να περιέχει όλα τα "οικεία" σε εμάς υποσύνολα των πραγματικών. Αποκτούμε έτσι την έννοια του μετρήσιμου χώρου.

Μπορείτε να βρείτε μια βιντεοσκοπημένη και ανακριβή εισαγωγή στα παραπάνω  εδώ.