Στατιστική ΙΙ

Η ανάλυση των ιδιοτήτων των κατανομών πιθανότητας επί των πραγματικών είναι σημαντική επειδή, σε αυτούς, ή σε "παρεμφερείς" χώρους, είναι συνήθως ορισμένες οι κατανομές που αφορούν την Οικονομική Θεωρία και την Οικονομετρία, και επίσης επειδή μέσω της έννοιας της τυχαίας μεταβλητής είναι δυνατή η "μεταφορά" κατανομών από αυθαίρετους χώρους στην πραγματική ευθεία η οποία έχει πλούσια μαθηματική δομή, και συνεπώς η μελέτη τους εκεί.

Από τα προηγούμενα γνωρίζουμε ότι τόσο στην πραγματική ευθεία, αλλά και γενικότερα σε περιπτώσεις που η συλλογή από τα σχετικά μετρήσιμα υποσύνολα είναι "περίπλοκη" τότε γενικά είναι δυσχερής η χρήση του ορισμού για την περιγραφή κατανομής πιθανότητας. Επομένως μας χρειάζονται έννοιες που είναι δυνατόν να αναπαριστούν μια κατανομή αποφεύγοντας τον ορισμό, και οι οποίες είναι επίσης "οικείες" (π.χ. συναρτήσεις από το  στο ) και "εύχρηστες". Προκύπτει επίσης το ερώτημα του πως είναι δυνατόν οι ιδιότητες της κατανομής να αντανακλώνται σε τυχόν "οικείες αναλυτικές" ιδιότητες όποιας τέτοιας αναπαράστασης. Θα ασχοληθούμε με αυτά τα ερωτήματα σε σημαντικό μέρος του μαθήματος.

Όπως θα δούμε έχουμε ήδη κατασκευάσει παράδειγμα που μας δείχνει ότι υπάρχουν κάποιες κατανομές στους πραγματικούς που είναι "εύκολα περιγράψιμες" χωρίς την ανάγκη χρήσης επί της ουσίας νέων εννοιών πέρα του ορισμού. Αυτό επειδή η πιθανότητες που αυτές αποδίδουν σε κάποιο μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών επί της ουσίας εξαρτώνται μόνο από την τομή του τελευταίου με "μικρό" υποσύνολο των πραγματικών, και από την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει στα μονοσύνολα που σχηματίζει κάθε ξεχωριστό στοιχείο αυτού του διακριτού συνόλου. Καταρχάς λοιπόν, η ανάλυση μας θα αφορά στην ταξινόμηση των κατανομών στους πραγματικούς βάσει της "ευκολίας περιγραφής"

Σε αυτά θα μας είναι χρήσιμες οι έννοιες: α) του κλειστού υποσυνόλου του , ως όποιου υποσυνόλου των πραγματικών με την ιδιότητα ότι δεν υπάρχει πραγματικός έξω από αυτό που να μπορεί να προκύψει ως όριο στοιχείων του υποσυνόλου, και β) του διακριτού υποσυνόλου του , ως συλλογή από "απομονωμένους" πραγματικούς, με την έννοια ότι κάθε στοιχείο του συνόλου μπορεί να απομονωθεί από τα υπόλοιπα μέσω κατάλληλου ανοικτού διαστήματος που θα το περιέχει και δεν θα περιέχει κάνενα άλλο στοιχείο του εν λόγω συνόλου. 

Βάσει των παραπάνω δεδομένης όποιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς θα διερευνήσουμε  την έννοια του στηρίγματος αυτής. Θα μας διευκολύνει στο να α) διευκολύνουμε σε κάποιες περιπτώσεις τον υπολογισμό των ιθανοτήτων που αποδίδει η κατανομή και β) να ταξινομήσουμε τις κατανομές στο  μέσω των ιδιοτήτων των στηριγμάτων τους. Έτσι θα καταλήξουμε καταρχάς στον ορισμό της διακριτής κατανομής.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.