Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας εξάγωντας (όχι εξαντλητικά ή/και αναγκαστικά σχολαστικά) περαιτέρω ιδιότητες που είναι δυνατόν να έχει η αθροιστική συνάρτηση και οι οποίες προφανώς θα αντανακλούν πιστά σχετικές ιδιότητες της κατανομής. Έτσι π.χ. δεδομένων των ιδιοτήτων συνέχειας που εξάγαμε προηγουμένως, είδαμε ότι η αθροιστική συνάρτηση θα είναι αναγκαστικά συνεχής εκτός του στηρίγματος, ενώ αν έχει ασυνέχειες αυτές θα έχουν την μορφή θετικού άλματος και θα εντοπίζονται αναγκαστικά σε στοιχεία του στηρίγματος. Επίσης είδαμε ότι η αθροιστική θα είναι  γνησίως αύξουσα στο στήριγμα και κατά τμήματα σταθερή εκτός του στηρίγματος. Έτσι π.χ. αν η κατανομή είναι διακριτή τότε αναγκαστικά η αθροιστική αυτής θα έχει ασυνέχειες που θα εντοπίζονται σε διακριτό υποσύνολο των πραγματικών που ταυτίζεται με το στήριγμα, ενώ θα παραμένει τμηματικά σταθερή όπου αλλού. Παρατηρήσαμε (χωρίς να δωθούν αναγκαστικά όλες οι σχετικές λεπτομέρειες) ότι τέτοιου είδους ιδιότητες είναι δυνατόν να μας βοηθούν να βρίσκουμε π.χ. το στήριγμα της κατανομής μέσω της αθροιστικής (αρκεί να βρούμε το μεγαλύτερο υποσύνολο των πραγματικών στο οποίο όταν περιοριστεί η αθροιστική είναι γνησίως μονότονη και το οποίο έχει ταυτόγχρονα και την οριστική ιδιότητα του στηρίγματος).

Δεδομένου του θεωρήματος χαρακτηρισμού γνωρίζουμε ότι θα πρέπει να μπορούμε να υπολογίζουμε τις πιθανότητες που αποδίδει η κατανομή χρησιμοποιώντας την αθροιστική. Έτσι είδαμε βασικά παραδείγματα του πως είναι δυνατόν να υπολογίζουμε μέσω της αθροιστικής την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει σε μετρήσιμα υποσύνολα των πραγματικών όταν αυτά έχουν διάφορες μορφές. 

Από τα παραπάνω μας έγινε σαφές ότι είναι δυνατόν να ορίζουμε κατανομές πιθανότητας στους πραγματικούς ορίζοντας απλώς τις σχετικές αθροιστικές συναρτήσεις. Έτσι ξεκινήσαμε την περιγραφή περαιτέρω παραδειγμάτων κατανομών πιθανότητας στους πραγματικούς. Τα παραδείγματα αυτά αφορούν σε κατανομές όπως η ομοιόμορφη, ή η εκθετική, και σε κάθε ένα από αυτά ελέγξαμε το αν η εκάστοτε δεδομένη ως αθροιστική συνάρτηση είναι καλώς ορισμένη.

Μέσω των παραδείγματων παρατηρήσαμε ανάμεσα στα άλλα:

1. Eίναι δυνατόν μια κατανομή να αποδίδει μηδενική πιθανότητα σε μονοσύνολο που αποτελείται από κάποιο στοιχείο του στηρίγματός της (αυτό είναι δυνατόν να συμβαίνει σε κάθε μονοσύνολο που αποτελείται από όποιο στοιχείο του στηρίγματος, όπως π.χ. στο παράδειγμα της ομοιόμορφης  κατανομής). Προφανώς κάτι τέτοιο είναι αδύνατον για διακριτές κατανομές (γιατί;).
2. Ο ορισμός που έχουμε υιοθετήσει για το πότε μια κατανομή θεωρείται συνεχής, αφορά στην "τοπολογική" μορφή του supp και όχι στο αν η αθροιστική της είναι συνεχής συνάρτηση. Έτσι, π.χ. είδαμε παράδειγμα συνεχούς κατανομής που έχει αθροιστική που εμφανίζει ασυνέχεια. Αναλόγως είδαμε παραδείγματα συνεχών κατανομών με συνεχείς αθροιστικές. Είναι δυνατόν να περιγραφούν και παραδείγματα μη συνεχών κατανομών που έχουν συνεχή αθροιστική (των οποίων το supp αναγκαστικά δεν μπορεί να έχει διακριτό μέρος-γιατί;). Τέτοια παραδείγματα (όπως αυτό της κατανομής Cantor) εκφεύγουν του εύρους του μαθήματος.
3. Κατασκευάσαμε παράδειγμα όπου το στήριγμα είναι η ένωση ενός διακριτού υποσυνόλου των πραγματικών και ενός διαστήματος ξένου ως προς το προηγούμενο. Αυτό προφανώς είναι παράδειγμα κατανομής που δεν είναι ούτε διακριτή, ούτε συνεχής.
4. Οι αθροιστικές είναι δυνατόν να εξαρτώνται μονοσήμαντα από παραμέτρους, το οποίο σημαίνει ότι αν τις αντιληφθούμε ταυτόγχρονα και ως συναρτήσεις των παραμέτρων τότε περιγράφουν ολόκληρες σχετικές οικογένειες από κατανομές.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και  εδώ.

Ασκήσεις:

1. Να δειχθεί ότι εντός του στηρίγματος η αθροιστική συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

2. Έστω P κατανομή πιθανότητας με αθροιστική την F. Να εκφρασθεί μέσω της F η πιθανότητα που η P αποδίδει στα εξής:

   1. 
   2. 
   3. 
   4. 
   5. 
   6. 
3. Να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα της μορφής [α,β] όπου η αθροιστική εμφανίζει ασυνέχειες στα α και β.
4. Να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα της μορφής [α,β] όπου η αθροιστική εμφανίζει ασυνέχειες σε δύο αυθαίρετα σημεία του στηρίγματος.
5. Για γ<δ<α<β, να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα το .
6. Για γ<α<β<δ, να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα το .