Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε (και μέσω παραδειγμάτων) με τις έννοιες των αμελητέων συνόλων και των δυικών τους συνόλων πλήρους πιθανότητας, και είδαμε ότι τα τελευταία μπορούν να χρησιμοποιούνται προκειμένου να εκφράζονται οι πιθανότητες που αποδίδονται από την κατανομή ως προς αυτά, κάτι που είναι δυνατόν να διευκολύνει την περιγραφή κατανομής πιθανότητας σε κάποιες περιπτώσεις (*-όπως θα δούμε στην συνέχεια μέσω της έννοιας του στηρίγματος μιας κατανομής επί των πραγματικών).

Συμπληρώσαμε τον αρχικό λογισμό ως προς τις ιδιότητες των κατανομών, εκφράζοντας ικανές συνθήκες που συνεπάγονται ότι η πιθανότητα της συνολοθεωρητικής διαφοράς γίνεται διαφορά πιθανοτήτων, και διατυπώνοντας την γενίκευση της τρίτης οριστικής ιδιότητας των κατανομών σε όχι αναγκαστικά ξένες ενώσεις, αποκτώντας την ιδιότητα της αριθμήσιμης υποπροσθετικότητας.

Συνεχίσαμε με την κατασκευή και ανάλυση παραδειγμάτων που καταρχάς εμπλέκουν πεπερασμένα σύνολα αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Όταν έχει πάνω από ένα στοιχεία, τότε είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας σε αυτόν. Εξαιτίας αυτού προκύπτει το στατιστικό πρόβλημα.

Παρατηρήσαμε επίσης ότι συλλογές από κατανομές πιθανότητας οριζόμενες στον ίδιο χώρο είναι δυνατόν να βρίσκονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με υποσύνολα Ευκλείδιων χώρων (π.χ. οι κατανομές που μπορούν να ορισθούν σε σύνολο αναφοράς με δύο στοιχεία, και η λίστα από τα μετρήσιμα υποσύνολα περιλαμβάνει όλα τα υποσύνολα του συνόλου αναφοράς, περιγράφονται συνολικά από παράμετρο με τιμές στο [0,1]). Αυτό είναι δυνατόν να διευκολύνει τον σχεδιασμό διαδιακασιών στατιστικής επαγωγής, καθώς σε περιπτώσεις που η ανάλογη κατανομή γνωρίζουμε ότι βρίσκεται στην σχετική οικογένεια, τότε η εύρεση της είναι δυνατόν να μπορεί να αναχθεί στον εντοπισμό της ανάλογης τιμής της σχετικής παραμέτρου. Οπότε η σχετική αναζήτηση είναι δυνατόν να διευκολύνεται από "οικείες" έννοιες για τον εντοπισμό τέτοιων τιμών, όπως π.χ. η επίλυση εξισώσεων, η βελτιστοποίηση συναρτήσεων, κ.ο.κ.

Στην συνέχεια μπήκαμε στο σημαντικό μέρος του μαθήματος που αφορά στην μελέτη των κατανομών πιθανότητας επί των πραγματικών (και επί "παρεμφερών" χώρων). Παρατηρήσαμε ότι η ανάλυση των ιδιοτήτων των κατανομών πιθανότητας επί των πραγματικών είναι σημαντική επειδή, σε αυτούς, ή σε "παρεμφερείς" χώρους, είναι συνήθως ορισμένες οι κατανομές που αφορούν την Οικονομική Θεωρία και την Οικονομετρία, και επίσης επειδή μέσω της έννοιας της τυχαίας μεταβλητής είναι δυνατή η "μεταφορά" κατανομών από αυθαίρετους χώρους στην πραγματική ευθεία η οποία έχει πλούσια μαθηματική δομή, και συνεπώς η μελέτη τους εκεί.

Από τα προηγούμενα γνωρίζουμε ότι τόσο στην πραγματική ευθεία, αλλά και γενικότερα σε περιπτώσεις που η συλλογή από τα σχετικά μετρήσιμα υποσύνολα είναι "περίπλοκη" τότε γενικά είναι δυσχερής η χρήση του ορισμού για την περιγραφή κατανομής πιθανότητας. Επομένως μας χρειάζονται έννοιες που είναι δυνατόν να αναπαριστούν μια κατανομή αποφεύγοντας τον ορισμό, και οι οποίες είναι επίσης "οικείες" (π.χ. συναρτήσεις από το  στο ) και "εύχρηστες". Προκύπτει επίσης το ερώτημα του πως είναι δυνατόν οι ιδιότητες της κατανομής να αντανακλώνται σε τυχόν "οικείες αναλυτικές" ιδιότητες όποιας τέτοιας αναπαράστασης. Θα ασχοληθούμε με αυτά τα ερωτήματα σε σημαντικό μέρος του μαθήματος.

Παρόλα αυτά παρατηρήσαμε ότι όπως μας πληροφορεί το παράδειγμα που έχουμε ήδη κατασκευάσει, είναι δυνατόν να υπάρχουν κατανομές στους πραγματικούς που είναι "εύκολα περιγράψιμες" χωρίς την ανάγκη χρήσης επί της ουσίας νέων εννοιών πέρα του ορισμού. Αυτό επειδή η πιθανότητες που αυτές αποδίδουν σε κάποιο μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών επί της ουσίας εξαρτώνται μόνο από την τομή του τελευταίου με διακριτό υποσύνολο των πραγματικών, και από την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει στα μονοσύνολα που σχηματίζει κάθε ξεχωριστό στοιχείο αυτού του διακριτού συνόλου. Καταρχήν η ανάλυση μας θα αφορά στην ταξινόμηση των κατανομών στους πραγματικούς βάσει της "ευκολίας περιγραφής"

Έτσι αρχικά κάναμε μια προεργασία που αφορούσε στην γρήγορη μελέτη των εννοιών: α) του κλειστού υποσυνόλου του , ως όποιου υποσυνόλου των πραγματικών με την ιδιότητα ότι δεν υπάρχει πραγματικός έξω από αυτό που να μπορεί να προκύψει ως όριο στοιχείων του υποσυνόλου, και β) του διακριτού υποσυνόλου του , ως συλλογή από "απομονωμένους" πραγματικούς, με την έννοια ότι κάθε στοιχείο του συνόλου μπορεί να απομονωθεί από τα υπόλοιπα μέσω κατάλληλου ανοικτού διαστήματος που θα το περιέχει και δεν θα περιέχει κάνενα άλλο στοιχείο του εν λόγω συνόλου. Ορίσαμε την έννοια του στηρίγματος, σημειώσαμε ότι αυτή είναι καλώς ορισμένη για κάθε κατανομή στους πραγματικούς και ότι μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε για να α) διευκολύνουμε σε κάποιες περιπτώσεις τον υπολογισμό των ιθανοτήτων που αποδίδει η κατανομή (συνδέστε το με το * παραπάνω), και β) να ταξινομήσουμε τις κατανομές στο  μέσω των ιδιοτήτων των στηριγμάτων τους. Έτσι καταλήξαμε στον ορισμό της διακριτής κατανομής.

 Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ και εδώ.