Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε τους υπολογισμούς που αφορούσαν σε ροπές, εξετάζοντας παραδείγματα κανονικών κατανομών όπως και το παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy, για την οποία δείξαμε ότι δεν υπάρχει καμμία ροπή πέραν αυτής της μηδενικής τάξης. Για το τελευταίο ήταν αρκετό να δείξουμε ότι δεν υπάρχει ως πραγματικός αριθμός η απόλυτη ροπή πρώτης τάξης (γιατί;). Στα παραδείγματα που αφορούσαν στην οικογένεια των κανονικών κατανομών παρατηρήσαμε ότι οι υπολογισμοί είναι δυνατόν να ενέχουν πολλές πράξεις, ότι αυτοί διευκολύνονται από τον υπολογισμό κατάλληλων ολοκληρωμάτων ως προς την τυπική κανονική κατανομή και ότι αναδεικνύονται σχέσεις μεταξύ ροπών διαφορετικής τάξης. Επίσης διακρίναμε στο παράδειγμα της τυπικής κανονικής κατανομής την διαφορά μεταξύ ροπών και απολύτων ροπών ίδιας περιττής τάξης. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Έχοντας ως κίνητρο τα ζητήματα της διατύπωσης ικανών και αναγκάιων συνθηκών για την αναπαράσταση κατανομής ως από τις ροπές της, και του κόστους υπολογισμού των ροπών μέσω του ορισμού, ασχοληθήκαμε με την έννοια της ροπογεννήτριας συνάρτησης κατανομής. Διατυπώσαμε κριτήριο καλώς ορισμένου αυτής που αφορά στην ύπαρξη του οριστικού της ολοκληρώματος για κάθε τιμή του ορίσματος τουλάχιστον σε ανοικτό διάστημα με κέντρο το μηδέν, όπως και το θεώρημα ότι ανν αυτή είναι καλώς ορισμένη, τότε αυτή αναπαριστά την κατανομή, οι ροπές κάθε τάξης υπάρχουν ΚΑΙ αναπαριστούν την κατανομή, και η ροπή όποιας τάξης μπορεί να υπολογιστεί ως η ανάλογης τάξης παράγωγος της ροπογεννήτριας στο μηδέν. Κάναμε τους σχετικούς υπολογισμούς στα πλαίσια παραδειγμάτων μας, τους συσχετίσαμε με τα παραπάνω, και είδαμε ότι σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις η καλώς ορισμένη ροπογεννήτρια είναι πιο "εύχρηστη" στον υπολογισμό ροπών σε σχέση με τον ορισμό αυτών. Παρατηρήσαμε επίσης ότι οι σχέσεις μεταξύ ροπών διαφορετικής τάξης που είδαμε σε προηγούμενους υπολογισμούς ροπών προκύπτουν από την σχέση μεταξύ των παραγώγων διαφορετικής τάξης της ροπογεννήτριας στο μηδέν. Στο παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy παρατηρήσαμε ότι η ροπογεννήτρια δεν είναι καλώς ορισμένη οπότε σύμφωνα με το θεώρημα οι ροπές δεν είναι δυνατόν να αναπαριστούν την κατανομή (στο εν λόγω παράδειγμα επειδή κάποιες από αυτές δεν υπάρχουν). Αναφερθήκαμε και σε παράδειγμα κατανομής για την οποία παρόλο που υπάρχουν οι ροπές κάθε τάξης, η ροπογεννήτρια δεν είναι καλως ορισμένη οπότε βάσει του θεωρήματος μας οι ροπές δεν αναπαριστούν την κατανομή (επειδή σε αυτό το παράδειγμα η ροπή κ-τάξης καθώς το κ μεγαλώνει δεν συμπεριφέρεται κατάλληλα ώστε η ροπογεννήτρια να γίνεται καλώς ορισμένη-αν ενδιαφέρεστε δείτε το παράδειγμα της λογαριθμο-κανονικής κατανομής). Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.