Στατιστική ΙΙ

Ξεκινήσαμε παρατηρώντας ότι ως προς τις συνολοθεωρητικές ταυτότητες που είχαμε διατυπώσει και που αφορούσαν διαμερίσεις έχουμε ότι η τελευταία μπορεί να γραφεί και ως (γιατί;)

και είναι η γενικότερη από όλες καθώς οι υπόλοιπες αποτελούν υποπεριπτώσεις αυτής (γιατί;).

Δεδομένης της προηγούμενης κατασκευής μας για την έννοια του μετρήσιμου χώρου δώσαμε τον ορισμό της έννοιας της κατανομής ή μέτρου πιθανότητας επί του Ω, ως κατάλληλης πραγματικής συνάρτησης ορισμένης επί της συλλογής των μετρήσιμων υποσυνόλων του Ω. Υπενθυμίζουμε ότι ένας βασικός σκοπός μας είναι να κατανοήσουμε ανάμεσα στα άλλα το πόσο δυσχερής είναι δυνατόν να είναι η χρήση του ορισμού για την περιγραφή κατανομών όταν το Ω είναι "περίπλοκο" (π.χ. η πραγματική ευθεία) και να αναπτύξουμε ισοδύναμες έννοιςε που είναι ευκολότερα διαχειρίσιμες.

Χρησιμοποιώντας τις προαναφερθείσες ταυτότητες και τις ιδιότητες που προδιαγράφει ο ορισμός, ασχοληθήκαμε με την εξαγωγή ιδιοτήτων που θα έχει αναγκαστικά κάθε καλώς ορισμένη κατανομή. Αυτές μπορούμε να τις συλλάβουμε τόσο μέσω τις διαίσθησης μας για τις διαδικασίες μέτρησης αλλά και ως αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, καθώς κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ξεκινήσαμε την κατασκευή παραδειγμάτων και παρατηρήσαμε μέσω της ιδιότητας της ισότητας μεταξύ κατανομών, ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Όταν έχει πάνω από ένα στοιχεία, τότε είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας σε αυτόν.