Στατιστική ΙΙ

Αποδείξαμε ιδιότητες που ικανοποιεί κάθε κατανομή πιθανότητας και προκύπτουν ως πορίσματα του ορισμού, πρόχειρες σημειώσεις για τα οποία μπορείτε να βρείτε εδώ.

Κατασκευάσαμε παραδείγματα και παρατηρήσαμε ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Όταν έχει πάνω από ένα στοιχεία, τότε είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας σε αυτόν. Εξαιτίας αυτού προκύπτει το στατιστικό πρόβλημα.

Παρατηρήσαμε επίσης ότι συλλογές από κατανομές πιθανότητας οριζόμενες στον ίδιο χώρο πιθανότητας είναι δυνατόν να βρίσκονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με υποσύνολα Ευκλείδειων χώρων (π.χ. οι κατανομές που μπορούν να ορισθούν σε σύνολο αναφοράς με δύο στοιχεία, και η λίστα από τα μετρήσιμα υποσύνολα περιλαμβάνει όλα τα υποσύνολα του συνόλου αναφοράς, περιγράφονται συνολικά από παράμετρο με τιμές στο [0,1], ή σε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα, η συλλογή  βρίσκεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με το ). Αυτό είναι δυνατόν να διευκολύνει τον σχεδιασμό διαδιακασιών στατιστικής επαγωγής, καθώς σε περιπτώσεις που η ανάλογη κατανομή γνωρίζουμε ότι βρίσκεται στην σχετική οικογένεια, τότε η εύρεση της είναι δυνατόν να μπορεί να αναχθεί στον εντοπισμό της ανάλογης τιμής της σχετικής παραμέτρου. Οπότε η σχετική αναζήτηση είναι δυνατόν να διευκολύνεται από "οικείες" έννοιες για τον εντοπισμό τέτοιων τιμών, όπως π.χ. η επίλυση εξισώσεων, η βελτιστοποίηση συναρτήσεων, κ.ο.κ.

Εξετάζοντας το παράδειγμα της πραγματικής ευθείας, παρατηρήσαμε ότι όταν η συλλογή από τα σχετικά μετρήσιμα υποσύνολα είναι "περίπλοκη" τότε είναι δυσχερής ο ορισμός για την περιγραφή κατανομής πιθανότητας. Επομένως μας χρειάζονται έννοιες που είναι δυνατόν να αναπαριστούν μια κατανομή αποφεύγοντας τον ορισμό, και οι οποίες είναι επίσης "οικείες" (π.χ. συναρτήσεις από το  στο ). Προκύπτει επίσης το ερώτημα του πως είναι δυνατόν οι ιδιότητες της κατανομής να αντανακλώνται σε τυχόν "οικείες αναλυτικές" ιδιότητες όποιας τέτοιας αναπαράστασης. Θα ασχοληθούμε με αυτά τα ερωτήματα σε σημαντικό μέρος του μαθήματος.

Πριν από την ανασχόληση αυτή, και δεδομένου χώρου πιθανότητας, ξεκινήσαμε την διερεύνηση του πως είναι δυνατόν κάποιο μετρήσιμο υποσύνολο του συνόλου αναφοράς, έστω Β, (ή ισοδύναμα ενδεχομένου στα πλαίσια της ερμηνείας του χώρου πιθανότητας μέσω πειράματος τύχης), να εμπεριέχει "πληροφορία" για αυθαίρετο μετρήσιμο υποσύνολο του συνόλου αναφοράς,έστω Α, (ή ισοδύναμα στα πλαίσια της ίδιας ερμηνείας, αυθαίρετου ενδεχομένου). Ορίσαμε την έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας και σημειώσαμε ότι το Β θα εμπεριέχει πληροφορία για το Α, βάσει της υφιστάμενης κατανομής αν και μόνο αν η σχετική δεσμευμένη πιθανότητα του Α ως προς το Β είναι διαφορετική από την πιθανότητα του Α, όπως αυτές αποδίδονται μέσω της χρήσης της υφιστάμενης κατανομής. Πρόχειρες σημειώσεις για την εν λόγω έννοια, ιδιότητες της και την συνακόλουθη έννοια της ανεξαρτησίας μεταξύ ενδεχομένων, μπορείτε να βρείτε εδώ.