Στατιστική ΙΙ

Σύνοψη 1^ου Φροντιστηρίου

Στο 1ο φροντιστήριο είδαμε κάποια βασικά στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων, όπως ο χώρος πιθανότητας, ο μετρήσιμος χώρος και η κατανομή πιθανότητας. Βασιζόμενοι σε αυτές τις έννοιες, αποδείξαμε κάποια από τα βασικά πορίσματα και είδαμε έμπρακτα πώς αυτά εφαρμόνται σε κάποιες κατανομές, π.χ. εκφυλισμένη κατανομή κ.α.

Ακολούθως ορίσαμε την Τυχαία Μεταβλητή και τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες μία μεταβλητή μπορεί να θεωρηθεί τυχαία. Συνεπώς, η έννοια της τυχαίας μεταβλητής

Δεδομένου ότι από τα προηγούμενα έγινε σαφές ότι μπορούμε να ορίζουμε κατανομές πιθανότητας στους πραγματικούς ορίζοντας τις σχετικές αθροιστικές συναρτήσεις, περιγράψαμε περαιτέρω παραδείγματα κατανομών πιθανότητας στους πραγματικούς. Τα παραδείγματα αυτά αφορούν σε κατανομές όπως η ομοιόμορφη, η εκθετική και η κανονική και σε κάθε ένα από αυτά ελέγξαμε το αν η εκάστοτε δεδομένη ως αθροιστική συνάρτηση είναι καλώς ορισμένη.

Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Μέσω των παραδείγ

Σκιαγραφήσαμε την απόδειξη του πρώτου μέρους του θεωρήματος χαρακτηρισμού. Κάποιες από τις ιδιότητες της αθροιστικής προκύπτουν από την χρήση μιας ιδιότητας συνέχειας της κατανομής που είναι εκτός του εύρους του μαθήματος και σχετίζεται με την "μικρού πλήθους" προσθετικότητα. Θεωρώντας δεδομένο το τι συνεπάγεται αυτή η ιδιότητα συνέχειας σε κάθε σχετική περίπτωση δείξαμε το πως προκύπτουν οι χαρακτηριστικές ιδιότητες της αθροιστικής συνάρτησης.

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας εξάγωντας (όχι εξαντλ

Συνεχίζοντας την ενασχόληση μας με τις διακριτές κατανομές, και χρησιμοποιώντας τις σχετικές διότητες, παρατηρήσαμε ότι για την περιγραφή τους αρκεί να δοθεί το στήριγμα και η πιθανότητα που αποδίδεται στα μονοσύνολα που αποτελούνται από τα στοιχεία του στηρίγματος. Κάθε τέτοια περιγραφή θα αποδίδει μια καλώς ορισμένη διακριτή κατανομή εφόσον το δεδομένο στήριγμα είναι διακριτό, κάθε μία από τις παραπάνω πιθανότητες είναι αυστηρά θετική και η πιθανότητα που αποδίδεται στο δεδομένο στήριγμα ισούτ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και της κατανομής από μεταφορά εξετάζοντας περαιτέρω το παράδειγμα που αναπτύξαμε. Έτσι παρατηρήσαμε π.χ. ότι η κατανομή από μεταφορά εξαρτάται γενικά τόσο από την αρχική κατανομή όσο και από την τυχαία μεταβλητή μέσω των οποίων ορίζεται. Σχετικές πρόχειρες σημειώσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στο εν λόγω παράδειγμα παρατηρήσαμε ότι η κατανομή που προέκυψε από μεταφορά είναι "εύκολα περιγράψιμη" χωρίς την ανάγκη χρήσης επί της ουσί

Συνεχίσαμε με την κατασκευή και ανάλυση παραδειγμάτων (και άντιπαραδειγμάτων) που καταρχάς εμπλέκουν πεπερασμένα σύνολα αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Όταν έχει πάνω από ένα στοιχεία, τότε είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας σε αυτόν. Εξαιτίας αυτού προκύπτει το στατιστικό πρόβλημα.

Παρατηρήσαμε επίσης ότ

Ξεκινήσαμε παρατηρώντας ότι ως προς τις συνολοθεωρητικές ταυτότητες που είχαμε διατυπώσει και που αφορούσαν διαμερίσεις έχουμε ότι η τελευταία μπορεί να γραφεί και ως (γιατί;)

και είναι η γενικότερη από όλες καθώς οι υπόλοιπες αποτελούν υποπεριπτώσεις αυτής (γιατί;).

Δεδομένης της προηγούμενης κατασκευής μας για την έννοια του μετρήσιμου χώρου δώσαμε τον ορισμό της έννοιας της κατανομής ή μέτρου πιθανότητας επί του Ω, ως κατάλληλης πραγματικής συνάρτησης ορισμένης επί της συλλογής των μετρήσιμω

Ξεκινήσαμε το πρώτο μέρος του μαθήματος που άπτεται της εξέτασης βασικών εννοιών στην θεωρία πιθανοτήτων. Παρατηρήσαμε ότι το βασικό αντικείμενο της θεωρίας, δηλαδή η κατανομή πιθανότητας (δείτε και εδώ) είναι συνολοσυνάρτηση με πεδίο ορισμού κατάλληλη συλλογή από σύνολα που ικανοποιεί κάποιες ιδιότητες. Προκειμένου να καταλάβουμε το πως κατασκευάζεται αυτή η συλλογή και πως η έννοια της κατανομής "αλληλεπιδρά" με τις συνολοθεωρητικές πράξεις θυμηθήκαμε κάποιες βασικές έννοιες από την θεωρία συν

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω αυστηρή μαθηματική θεμελίωση εννοιών της θεωρίας πιθανοτήτων και διαδικασιών στατιστικής επαγωγής. Παιδαγωγικά μέσω της εν λόγω θεμελίωσης γίνεται ευχερής η ορισμός, η επέκταση και η κατανόηση των ιδιοτήτων περισσότερο περίπλοκων διαδικασιών όπως αυτές που θα συναντηθούν στα μετέπειτα μαθήματα της Οικονομετρίας.

Ως στατιστική επαγωγή νοείται το σύνολο των διαδικασιών επίλυσης του στατιστικού προβλήματος. Στατιστικό ονομάζεται όποιο πρόβλημα αφορά στην εύρεσ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με στοιχεία της θεωρίας πιθανοφάνειας στο περιορισμένο υπόβαθρο μας. Ασχοληθήκαμε με την ασυμπτωτική έννοια της (ασθενούς) συνέπειας εκτιμητή, την οποία και εξάγαμε στο πρώτο μας παράδειγμα χρησιμοποιώντας την αμεροληψία του εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας στο συγκεκριμένο παράδειγμα και την ανισότητα του Chebychev. 

Εξετάσαμε περαιτέρω παραδείγματα σε κάποια εκ των οποίων ο εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας είναι μεροληπτικός, ενώ παρατηρήσαμε ότι η ιδιότητα της αμε