Στατιστική ΙΙ

Προχωρήσαμε σε πρόχειρη (και όχι ιδιαίτερα ακριβή) ταξινόμηση των κατανομών πιθανότητας ανάλογα με ιδιότητες των στηριγμάτων αυτών. Η ταξινόμηση είναι αναγκαστικά ανακριβής επειδή η ακρίβεια απαιτεί εμβάθυνση στην τοπολογία των πραγματικών αριθμών, κάτι εκτός του εύρους του μαθήματος. Έτσι διακρίναμε τις μη διακριτές κατανομές σε α) συνεχείς, ως αυτές που έχουν ως στήριγμα κλειστό διάστημα ή ένωση κλειστών διαστημάτων, β) μεικτές, αυτές των οποίων το στήριγμα είναι ξένη ένωση μεταξύ κλειστού δια

Μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ ομάδες ασκήσεων που σχετίζονται με τις πρώτες οκτώ διαλέξεις.

Συνεχίζοντας την ενασχόληση μας με τις διακριτές κατανομές, και εξάγωντας τις σχετικές διότητες, παρατηρήσαμε ότι για την περιγραφή τους αρκεί να δοθεί το στήριγμα και η πιθανότητα που αποδίδεται στα μονοσύνολα που αποτελούνται από τα στοιχεία του στηρίγματος. Αυτό εξαιτίας της διακριτότητας του στηρίγματος, και συνεπώς του αριθμήσιμου πλήθους των στοιχείων του, ο υπολογισμός της πιθανότητας που αποδίδεται από τέτοια κατανομή σε μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών, συνίσταται στον έλεγχο αριθμήσ

Συνεχίσαμε (και μέσω παραδειγμάτων) με τις έννοιες των αμελητέων συνόλων και των δυικών τους συνόλων πλήρους πιθανότητας, και είδαμε ότι τα τελευταία μπορούν να χρησιμοποιούνται προκειμένου να εκφράζονται οι πιθανότητες που αποδίδονται από την κατανομή ως προς αυτά, κάτι που είναι δυνατόν να διευκολύνει την περιγραφή κατανομής πιθανότητας σε κάποιες περιπτώσεις (*-όπως θα δούμε στην συνέχεια μέσω της έννοιας του στηρίγματος μιας κατανομής επί των πραγματικών).

Συμπληρώσαμε τον αρχικό λογισμό ως

Ξεκινήσαμε παρατηρώντας ότι το δυναμοσύνολο είναι κλειστό ως προς όποιο πλήθος συνολοθεωρητικών πράξεων. Συνεχίσαμε ορίζοντας την έννοια της πραγματικής συνολοσυνάρτησης ως συνάρτησης που ορίζεται στο δυναμοσύνολο (ή σε υποσυλλογή αυτού) και δίνει πραγματικές τιμές, και εξετάσαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι σε παραδείγματα όπως αυτό της πραγματικής ευθείας η περιγραφή τέτοιων συναρτήσεων είναι γενικά δύσκολη, οπότε είναι δυνατόν να μας χρειάζονται απλούστερες αναπαραστάσεις τους.

Αναμένουμε ό

Ξεκινήσαμε το πρώτο μέρος του μαθήματος που άπτεται της εξέτασης βασικών εννοιών στην θεωρία πιθανοτήτων. Παρατηρήσαμε ότι το βασικό αντικείμενο της θεωρίας, δηλαδή η κατανομή πιθανότητας (δείτε και εδώ) μπορεί σε αδρες γραμμές να περιγραφεί ως μηχανισμός απόδοσης μεγέθους (ή ισοδύναμα μέτρησης) σε "κομμάτια" δεδομένου συνόλου, δηλαδή ως συνολοσυνάρτηση με πεδίο ορισμού κατάλληλη συλλογή από σύνολα, που ικανοποιεί  ιδιότητες σχετικές με διαδικασίες μέτρησης.

Προκειμένου να καταλάβουμε το πως κατ

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω αυστηρή μαθηματική θεμελίωση εννοιών της θεωρίας πιθανοτήτων και διαδικασιών στατιστικής επαγωγής. Παιδαγωγικά μέσω της εν λόγω θεμελίωσης γίνεται ευχερής η ορισμός, η επέκταση και η κατανόηση των ιδιοτήτων περισσότερο περίπλοκων διαδικασιών όπως αυτές που θα συναντηθούν στα μετέπειτα μαθήματα της Οικονομετρίας.

Ως στατιστική επαγωγή νοείται το σύνολο των διαδικασιών επίλυσης του στατιστικού προβλήματος. Στατιστικό ονομάζεται όποιο πρόβλημα αφορά στην εύρεσ

Κατόπιν υπόδειξης συναδέλφου σας επισημαίνονται και διορθώνονται στο φυλλάδιο "Τυχαίες Μεταβλητές και Κατανομές από Μεταφορά" τα παρακάτω τυπογραφικά λάθη:

A. σελ. 1, (2 §) "Ορίσαμε την τυχαία μεταβλητή ως μια πραγματική συνάρτηση η δημιουργεί ...",

Διόρθωση: "Ορίσαμε την τυχαία μεταβλητή ως μια πραγματική συνάρτηση η οποία δημιουργεί ...".

B. σελ. 2, (1 §) "Δηλαδή η ύπαρξη μη μετρήσιμων συνόλων συνεάγεται την...",

Διόρθωση: "Δηλαδή η ύπαρξη μη μετρήσιμων συνόλων συνεπάγεται την...".

Συνεχίσαμε τους υπολογισμούς που αφορούσαν σε ροπές, εξετάζοντας παραδείγματα κανονικών κατανομών όπως και το παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy, για την οποία δείξαμε ότι δεν υπάρχει καμμία ροπή πέραν αυτής της μηδενικής τάξης. Για το τελευταίο ήταν αρκετό να δείξουμε ότι δεν υπάρχει ως πραγματικός αριθμός η απόλυτη ροπή πρώτης τάξης (γιατί;). Στα παραδείγματα που αφορούσαν στην οικογένεια των κανονικών κατανομών παρατηρήσαμε ότι οι υπολογισμοί είναι δυνατόν να ενέχουν πολλές πράξεις, ότι

Στο 8ο φροντιστήριο ορίσαμε την ροπογεννήτρια συνάρτηση μίας τυχαίας(συνεχούς ή διακριτής) μεταβλητής Χ και διαπιστώσαμε ότι μπορεί να μην ορίζεται για κάθε t. Η χρησιμότητά της ροπογεννήτριας συνάρτησης έγκειται στο γεγονός ότι μπορούμε να υπολογίσουμε την ροπή k-τάξης, απλά και μόνο παραγωγίζοντάς τη k-φορές και θέτωντας στη συνέχεια t=0. Αυτή η διαδικασία υπολογισμού ροπών είναι ως επί το πλείστον πιο απλή από την ολοκλήρωση(όπως είδαμε σε προηγούμενο φροντιστήριο). Εξαίρεση αποτελεί η ομοιόμ