Στατιστική ΙΙ

Έχοντας ως κίνητρα τα ζητήματα της διατύπωσης ικανών και αναγκάιων συνθηκών για την αναπαράσταση κατανομής ως από τις ροπές της, όπως και αυτό του κόστους υπολογισμού των ροπών μέσω του ορισμού, ασχοληθήκαμε με την έννοια της ροπογεννήτριας συνάρτησης κατανομής.

Διατυπώσαμε κριτήριο καλώς ορισμένου αυτής που αφορά στην ύπαρξη του οριστικού της ολοκληρώματος για κάθε τιμή του ορίσματος τουλάχιστον σε ανοικτό διάστημα με κέντρο το μηδέν, όπως και το θεώρημα ότι ανν αυτή είναι καλώς ορισμένη, τότε

Στο 8^ο και 9^ο Φροντιστήριο του μαθήματος ορίσαμε γενικώς την ροπογεννήτρια συνάρηση Μ(t) και είδαμε υπό ποιες προϋποθέσεις είναι καλώς ορισμένη. Ουσιαστικά, για να είναι καλώς ορισμένη η Μ(t) θα πρέπει να είναι πραγματικός αριθμός για κάθε   -t^*<t<t^*. Στη συνέχεια διατυπώσαμε Θεώρημα βάσει του οποίου ο υπολογισμός ροπής k-τάξης ισοδυναμεί με την k-οστή παράγωγο της ροπομεγγενήτριας, υπολογισμένης στο t=0. Για την κατανομή πιθανότητας P υπάρχουν οι ροπές κάθε τάξης και χαρακτηρίζουν την P αν και

Συνεχίσαμε τους υπολογισμούς που αφορούσαν σε ροπές, εξετάζοντας παραδείγματα διωνυμικών και κανονικών κατανομών όπως και το παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy, για την οποία δείξαμε ότι δεν υπάρχει καμμία ροπή πέραν αυτής της μηδενικής τάξης. Για το τελευταίο ήταν αρκετό να δείξουμε ότι δεν υπάρχει ως πραγματικός αριθμός η απόλυτη ροπή πρώτης τάξης (γιατί;).

Στα παραδείγματα που αφορούσαν στην οικογένεια των κανονικών κατανομών παρατηρήσαμε ότι και εδώ οι υπολογισμοί είναι δυνατόν να ενέχο

Στο 6^ο Φροντιστήριο αναλύσαμε την έννοια της συνάρτησης πυκνότητας-πιθανότητας. Συγκεκριμένα, είδαμε πώς ορίζεται η f (probability density function) και ποιες είναι οι αναγκαίες προϋποθέσεις ύπαρξής της (βλ. Θεώρημα Ύπαρξης). Ακολουθώντας την αντίστροφη συλλογιστική πορεία, διατυπώσαμε αναγκαίες και ικανές συνθήκες καλώς ορισμένης συνάρτησης πυκνότητας (Θεώρημα Χαρακτηρισμού). Τέλος, βάσει των παραπάνω, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητες με τη χρήση της συνάρτησης

Συνεχίσαμε με υπολογισμούς ολοκληρωμάτων της εκθετικής συνάρτησης ως προς παραδείγματα κατανομών που έχουμε ήδη ορίσει. Στο παράδειγμα της εκθετικής κατανομής εξάγαμε περιπτώσεις μη ύπαρξης του σχετικού ολοκληρώματος εξαιτίας της απόκλισης του προς κάποιο άπειρο.

Σχολιάσαμε το ζήτημα της αναπάραστασης κατανομής από τον κατάλογο που αποτελείται από την ολοκλήρωση ως προς αυτή κάθε σχετικής συνάρτησης, οπότε και αντιληφθήκαμε κάθε κατανομή πιθανότητας ως κάποιου είδους "διαδικασία ολοκλήρωσης" πρα

Στο 4^ο Φροντιστήριο χρησιμοποιήσαμε την έννοια της κατανομής πιθανότητας, P, και της τυχαίας μεταβλητής, X, προκειμένου να υπολογίσουμε την κατανομή που προκύπτει, έστω P_x, από τη μεταφορά της P μέσω της συνάρτησης Χ. Τα παραδείγματα που συναντήσαμε αφορούν στις κατανομές Poisson και Binomial.

Στο 5^ο Φροντιστήριο εστιάσαμε την προσοχή μας στις συνθήκες που απαιτούνται έτσι ώστε η συνάρτηση F που μας δίνεται να είναι πράγματι αθροιστική συνάρτηση της κατανομής P. Οι περιπτώσεις που εξετάσαμε περιλ

Στο 1^ο Φροντιστήριο η πρώτη βασική έννοια που συναντήσαμε ήταν ο Χώρος Πιθανότητας P. Συγκεκριμένα, ορίσαμε τα συστατικά του (δειγματικός χώρος Ω, συλλογή μετρήσιμων υποσυνόλων του δειγματικού χώρου Σ_Ω) και παραθέσαμε συγκεκριμένες ιδιότητες έτσι ώστε αυτός να είναι πράγματι χώρος πιθανότητας. Επιπλέον, κατασκευάσαμε συνάρτηση πιθανότητας P και δώσαμε ορισμένα παραδείγματα. Τελικώς, είδαμε την αναγκαιότητα ορισμού μιας συνάρτησης η οποία είναι δυνατόν να παίρνει τιμές στον δειγματικό χώρο Ω και

Συνεχίσαμε με περαιτέρω ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας, και παρατηρήσαμε ότι αν συνάρτηση με πεδία ορισμού και τιμών τους πραγματικούς είναι μη αρνητική και το ολοκλήρωμα αυτής επί της πραγματικής ευθείας υπάρχει και ισούται με ένα, τότε αυτή αποτελεί συνάρτηση πυκνότητας μοναδικής κατανομής στους πραγματικούς.

Συνεχίσαμε εξετάζοντας παραδείγματα κατανομών που έχουν συναρτήσεις πυκνότητας. Έτσι π.χ. στα πλαίσια του παραδείγματος της εκθετικής κατανομής και εξαιτίας της μη παραγωγισιμότητας

Ολοκληρώσαμε την εξέταση του παραδείγματος της οικογένειας των εκθετικών κατανομών, και συνεχίσαμε με την εξέταση του παραδείγματος της οικογένειας των κανονικών κατανομών. Μέσω αυτού του παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι υπάρχει περίπτωση η αθροιστική συνάρτηση να έχει την μορφή κατάλληλου ολοκληρώματος, και χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα του Gauss, και (κάπως καταχρηστικά) τον κανόνα παραγώγισης του Leibniz, δείξαμε το καλώς ορισμένο αυτής. 

Μέσω αυτής της παρατήρησης οδηγηθήκαμε στην έννοια της σ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας εξάγωντας (όχι εξαντλητικά ή/και αναγκαστικά σχολαστικά) περαιτέρω ιδιότητες που είναι δυνατόν να έχει η αθροιστική συνάρτηση και οι οποίες προφανώς θα αντανακλούν πιστά σχετικές ιδιότητες της κατανομής. Έτσι π.χ. δεδομένων των ιδιοτήτων συνέχειας που εξάγαμε προηγουμένως, είδαμε ότι η αθροιστική συνάρτηση θα είναι αναγκαστικά συνεχής εκτός του στηρίγματος, ενώ αν έχει ασυνέχειες αυτές θα έχουν την μορφή θετικού άλματος και θα εντοπίζονται αναγκαστικά σε στοιχεία το