Μάθημα : Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με στοιχεία της θεωρίας πιθανοφάνειας στο περιορισμένο υπόβαθρο μας. Εξετάσαμε παραδείγματα στα οποία ο εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας είναι μεροληπτικός, ενώ παρατηρήσαμε ότι η ιδιότητα της αμεροληψίας μπορεί να εξαρτάται και από τον τρόπο με τον οποίο παραμετράται το στατιστικό υπόδειγμα. Εξετάσαμε και παράδειγμα στο οποίο ο παραμετρικός χώρος είναι διάστασης μεγαλύτερης του ένα. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με στοιχεία της θεωρίας πιθανοφάνειας στο περιορισμένο υπόβαθρο μας. Ορίσαμε (όχι με απόλυτη αυστηρότητα) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας, και ασχοληθήκαμε με υπολογισμούς για την εξαγωγή του και την διακρίβωση ιδιοτήτων του σε διάφορα παραδείγματα στα πλαίσια του υποβάθρου μας. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Συνεχίσαμε τους υπολογισμούς που αφορούσαν σε ροπές, εξετάζοντας και το παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy, για την οποία δείξαμε ότι δεν υπάρχει καμμία ροπή πέραν αυτής της μηδενικής τάξης. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με "περιορισμένη" εκδοχή του στατιστικού προβλήματος και στοιχεία της θεωρίας πιθανοφάνειας, σημειώσεις για την οποία μπορείτε να βρείτε εδώ. 

Συνεχίσαμε με περαιτέρω παραδείγματα υπολογισμού και σχετικού σχολιασμού αναφορικά με ροπές σε διάφορες περιπτώσεις κατανομών πιθανότητας. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. 

Συνεχίσαμε με υπολογισμούς παραδειγμάτων ολοκλήρωσης κατάλληλων συναρτήσεων ως προς κατανομές, σημειώσεις και για τα οποία μπορείτε να βρείτε εδώ. Δεδομένης της έννοιας της ολοκλήρωσης ασχοληθήκαμε με την έννοια των ροπών κατανομής πιθανότητας, δίνοντας ορισμούς σχόλια και ιδιότητες. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Εξ' αφορμής του παραδείγματος της κανονικής κατανομής μελετήσαμε την έννοια της συνάρτησης πυκνότητας και είδαμε ιδιότητες και παραδείγματα. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Μελετήσαμε έτσι μια ακόμη αναπαράσταση κατανομής πιθανότητας, η οποία όμως βασίζεται στην προαναφερθείσα έννοια και αυτή είναι δυνατόν να μην υπάρχει σε κάποιες περιπτώσεις, ενώ σε άλλες να μην είναι μοναδική, σε αντιδιαστολή με την αθροιστική συνάρτηση που υπάρχει και είναι μοναδική σε κάθε περίπτωση. Η πλήρης κα

Χρησιμοποιώντας την έννοια της αθροιστικής συνάρτησης περιγράψαμε περαιτέρω παραδείγματα κατανομών πιθανότητας στους πραγματικούς. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Μέσω των παραδείγματων αυτά, παρατηρήσαμε ανάμεσα στα άλλα:

1. Eίναι δυνατόν μια κατανομή να αποδίδει μηδενική πιθανότητα σε μονοσύνολο που αποτελείται από κάποιο στοιχείο του στηρίγματός της (αυτό είναι δυνατόν να συμβαίνει σε κάθε μονοσύνολο που αποτελείται από όποιο στοιχείο του στηρίγματος, όπως δείχνουν τα παραδ

Συνεχίζοντας την ενασχόληση μας με τις διακριτές κατανομές, εξετάσαμε το παράδειγμα κατανομής με στήριγμα το σύνολο των φυσικών, αναφερόμενοι στο παράδειγμα της κατανομής Poisson.

Στην συνέχεια, και στην προσπάθεια μας για αναπαράσταση όποιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς από κατάλληλες και οικείες έννοιες, ώστε να αποφεύγετι ο δύσχρηστος ορισμός, ξεκινήσαμε την εξέταση της έννοιας της αθροιστικής συνάρτησης. Αναφερθήκαμε σε θεώρημα που απαριθμεί τις χαρακτηριστικές της ιδιότητες, και

Δεδομένης της προεργασίας μας για τις τυχαίες μεταβλητές, ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το ζήτημα της αναπαράστασης κατανομών στους πραγματικούς. Ορίσαμε την έννοια του στηρίγματος, και χρησιμοποιώντας την εξετάσαμε κατηγορία κατανομών στους πραγματικούς που είναι "εύκολα περιγράψιμες", τις λεγόμενες διακριτές κατανομές. Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ασχοληθήκαμε με την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και του πως μια τυχαία μεταβλητή μεταφέρει μια κατανομή πιθανότητας στους πραγματικούς. Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.