Μάθημα : Στατιστική ΙΙ

Συμπληρώσαμε το παράδειγμα της εκθετικής κατανομής και ασχοληθήκαμε με αυτό της κανονικής κατανομής, στο οποίο και ανάμεσα στα άλλα παρατηρήσαμε ότι η αθροιστική συνάρτηση μπορεί να εκφρασθεί μόνο ως ορισμένο καταχρηστικό ολοκλήρωμα κατάλληλης συνάρτησης.

Ξεκινήσαμε την εξέταση παραδειγμάτων (και αντιπαραδείγματος) κατασκευής και περιγραφής κατανομών πιθανότητας μέσω των αντίστοιχων αθροιστικών. Σε αυτό το πλαίσιο ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το παράδειγμα της ομοιόμορφης κατανομής, με ένα παράδειγμα συνεχούς κατανομής με ασυνεχή αθροιστική που προκύπτει από σχετική τροποποίηση της ομοιόμορφης, με ένα παράδειγμα μεικτής κατανομής και με το παράδειγμα της εκθετικής κατανομής.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Τα σχεδιαγράμματα

Συνεχίσαμε με την εν μέρει εξαγωγή χαρακτηριστικών ιδιοτήτων που μας οδήγησαν στο θεώρημα χαρακτηρισμού της αθροιστικής συνάρτησης, και το χρησιμοποιήσαμε προκειμένου να δούμε το πως περαιτέρω ιδιότητες των κατανομών αντανακλώνται στις αθροιστικές τους, και στο πως μπορούμε να υπολογίζουμε πιθανότητες βάσει της αθροιστικής.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Τα σχεδιαγράμματα των εν λόγω διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τελειώσαμε με την εισαγωγή στα παραδείγματα των διακριτών κατανομών εξετάζοντας περαιτέρω το παράδειγμα της διωνυμικής κατανομής και της κατανομής Poisson. Δείτε εδώ συμπλήρωμα που αφορά στην ερμηνεία των διακριτών κατανομών που εξετάσαμε στις διαλέξεις.

Θυμηθήκαμε την ταξινόμηση των κατανομών βάσει του στηρίγματος και αρχίσαμε την εξέταση περαιτέρω εννοιών που τις αναπαριστόύν. Ξεκινήσαμε με την αθροιστική συνάρτηση. Πέραν της εξέτασης του ορισμού και κάποιων αρχικών παραδειγμάτων, αρχίσαμε να

Ξεκινήσαμε την διερεύνηση  της έννοιας του στηρίγματος. Είδαμε ότι μας χρησιμεύει στο να α) διευκολύνουμε σε κάποιες περιπτώσεις τον υπολογισμό των ιθανοτήτων που αποδίδει η κατανομή και β) να ταξινομήσουμε τις κατανομές στο μέσω των ιδιοτήτων των στηριγμάτων τους.

Δεδομένης της προαναφερθείσας ταξινόμησης, ασχοληθήκαμε καταρχάς με τον ορισμό και ιδιότητες των διακριτών κατανομών. Μέσω των όσων εξατάσαμε για το στήριγμα, και επειδή στις συγκεκριμένες κατανομές το στήριγμα είναι διακριτό, δείξαμ

Δεδομένου του ορισμού της κατανομής πιθανότητας, και χρησιμοποιώντας την προεργασία μας, προχωρήσαμε στην εξαγωγή περαιτέρω στοιχειωδών ιδιοτήτων των κατανομών, όπως η υπο-προσθετικότητα, παρατηρήρώντας ότι κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών.

Εξετάσαμε τις έννοιες των αμελητέων συνόλων και των δυικών τους συνόλων πλήρους πιθανότητας, και εί

Συνεχίσαμε την εξέταση της έννοιας της (πραγματικής) συνολοσυνάρτησης επί συνόλου αναφορά. Εξετάσαμε παραδείγματα και κάποιες ιδιότητες (εν προκειμένω τις μονοτονία και προσθετικότητα) που είναι δυνατόν να έχουν κάποιες από αυτές, που θα είναι χρήσιμες αργότερα καθώς τις έχουν οι κατανομές πιθανότητας.

Προχωρήσαμε στον ορισμό της κατανομής πιθανότητας, ως πραγματικής συνολοσυνάρτησης ορισμένης στην εκάστοτε συλλογή από μετρήσιμα υποσύνολα, η οποία συνάρτηση ικανοποιεί τις ιδιότητες του θετικά ορ

Συνεχίσαμε με την εξέταση της πράξης της συμπλήρωσης. Παρατηρήσαμε μεταξύ άλλων ότι είναι άντι-μονότονη ως προς την σχέση του εγκλεισμού, ενώ χαρακτηρίσαμε την συνολοθεωρητική διαφορά χρησιμοποιώντας το συμπλήρωμα και την τομή. Χρησιμοποιήσαμε τα προηγούμενα προκειμένου να ταξινομήσουμε τους τρόπους διαμέρισης όποιου συνόλου ως ένωση δύο υποσυνόλων του, χρησιμοποιώντας αυθαίρετο υποσύνολο του συνόλου αναφοράς.

Έξετάσαμε την έννοια της (πραγματικής) συνολοσυνάρτησης επί συνόλου αναφοράς, ως συνάρ

Συνεχίσαμε την διερεύνηση ορισμών και ιδιότητων της σχέσης του εγκλεισμού, και των πράξεων της ένωσης, τομής, διαφοράς και συμπληρώσης μέσα στο δυναμοσύνολο. Παρατηρήσαμε ότι η σχέση του εγκλεισμού έχει αναπαραστάσεις μέσω των πράξεων.  

Οι πίνακες των διαλέξεων βρίσκονται εδώ και εδώ.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ (επίσης εδώ μπορείτε να βρείτε σημειώσεις σε έννοιες της συνολοθεωρίας οι οποίες όμως εκφεύγουν κατά πολύ του μαθήματος στην μεγαλύτερη έκταση τους).