Εισαγωγή στην Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης με εφαρμογές (6256)

Επιδιωκόμενα Μαθησιακά Αποτελέσματα: Οι φοιτητές αφού παρακολουθήσουν με επιτυχία το
μάθημα θα εξοικειωθούν με τις βασικές έννοιες της θεωρίας μέτρου και ολοκλήρωσης και θα είναι σε θέση να μπορούν να χρησιμοποιήσουν κάποια από τα βασικά εργαλεία της. Έτσι, θα είναι σε θέση να μπορούν να προσεγγίσουν και από μια πιο μετροθεωρητική σκοπιά τις τεχνικές που χρησιμοποιούνται στις πιθανότητες και την στατιστική καθώς επίσης και των τεχνικών της στατιστικής/μηχανικής μάθησης.

Προαπαιτήσεις: καμία

Περιεχόμενο του μαθήματος (Syllabus): Σύνολα και συναρτήσεις. Άλγεβρες και σ-άλγεβρες
συνόλων. Ανοιχτά κλειστά και συμπαγή υποσύνολα των πραγματικών αριθμών. Κατασκευή του
μέτρου Lebesgue στους πραγματικούς αριθμούς. Σύνολα μετρήσιμα κατά Borel και Lebesgue. Το σύνολο του Cantor και η συνάρτηση του Cantor. Σύνολα μη μετρήσιμα κατά Lebesgue.
Συναρτήσεις μετρήσιμες κατά Lebesgue. Συναρτήσεις Borel. Τυχαίες μεταβλητές. Ακολουθίες
συναρτήσεων και τυχαίων μεταβλητών και έννοιες σύγκλισης (σχεδόν βέβαιη, σε μέτρο).
Το ολοκλήρωμα Lebesgue, κατασκευή και ιδιότητες. Βασικά θεωρήματα σύγκλισης, (Λήμμα Fatou, θέωρημα μονότονης σύγκλισης, θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης). Αναμενόμενη τιμή. Σύγκλιση σε κατανομή και εφαρμογές στην στατιστική (εκτιμητική, προσομοίωση κλπ).
Χώροι Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσεων και τυχαίων μεταβλητών και η δομή τους ως
μετρικοί χώροι. Ανισότητες Holder και Minkowski, το θεώρημα Beppo-Levi και πληρότητα. Σύγκλιση σε χώρους Lebesgue και εφαρμογές. Η περίπτωση του L^2, η δομή του ως χώρος Hilbert, το θεώρημα προβολής και η σχέση του με την υπο συνθήκη μέση τιμή (ΥΣΜΤ ως βέλτιστη εκτιμήτρια), βάσεις και αναπτύγματα (πχ. ανάπτυγμα Karhunen-Loeve κλπ).
Γινόμενο μέτρο, κατασκευή και ιδιότητες και σχέση με ανεξαρτησία. Ολοκλήρωση και γινόμενο
μέτρο, θεώρημα Fubini. Απόλυτη συνέχεια και ιδιομορφία μέτρων. Διασπάσεις Hahn-Jordan. Παραγώγιση Radon-Nikodym. Ο χώρος των μέτρων ως επέκταση των συναρτήσεων. Εφαρμογές στην στατιστική (η υπό συνθήκη μέση τιμή υπο νέο πρίσμα, πιθανοφάνεια, προσομόιωση ακραίων γεγονότων, συνέπεια) στα χρηματοοικονομικά.
Ο χώρος των μέτρων ως μετρικός χώρος και εφαρμογές. Απόσταση ολικής μεταβολής, απόσταση Helinger, απόσταση Kuhlback-Leibler (εντροπία), αποστάσεις μεταφοράς (transportation distance). Εφαρμογές στην επιλογή υποδείγματος, την στατιστική και μηχανική μάθηση κ.α.

Προτεινόμενη Βιβλιογραφία

 Athreya, Krishna B., and Soumendra N. Lahiri. Measure theory and probability theory.
Springer Science & Business Media, 2006.

 Billingsley, P. 2008. Probability and measure. John Wiley & Sons.

 Capinski, M., & Kopp, E., (2003). Measure, Integral and Probability. Springer-Verlag.

 Jacod, J., & Protter, P. E. (2003). Probability essentials. Springer Science & Business Media

 Καλπαζίδου, Σ. (2002). Στοιχεία μετροθεωρίας πιθανοτήτων. Εκδόσεις ΖΗΤΗ.

Τρόπος Διδασκαλίας: Πρόσωπο με πρόσωπο.
Η διδασκαλία περιλαμβάνει: Διαλέξεις στην τάξη.
Τρόπος Αξιολόγησης Φοιτητών: Εργασίες. Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου και/ ή εργασία.
Γλώσσα Διδασκαλίας: Ελληνικά.