Γραμμική Άλγεβρα Ι
Evagelos Ioannidis
Το μάθημα κατ’ αρχάς γενικεύει τα διανύσματα του επιπέδου σε διανύσματα n διαστάσεων. Αυτά αποτελούν τον Rn. Μελετάμε υποσύνολα αυτού του χώρου (υπόχωρους) και γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ υποχώρων. Αυτές εκφράζονται με πίνακες, οι οποίοι επίσης αποτελούν αντικείμενο εκτενούς μελέτης στο μάθημα. Τέλος επικεντρωνόμαστε σε προβολές και ελάχιστα τετράγωνα που έχουν σημαντικές εφαρμογές στη στατιστική.
Το μάθημα κατ’ αρχάς γενικεύει τα διανύσματα του επιπέδου σε διανύσματα n διαστάσεων. Αυτά αποτελούν τον Rn. Μελετάμε υποσύνολα αυτού του χώρου (υπόχωρους) και γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ υποχώρων. Αυτές εκφράζονται με πίνακες, οι οποίοι επίσης αποτελούν αντικείμενο εκτενούς μελέτης στο μάθημα. Τέλος επικεντρωνόμαστε σε προβολές και ελάχιστα τετράγωνα που έχουν σημαντικές εφαρμογές στη στατιστική.
Το μάθημα κατ’ αρχάς γενικεύει τα διανύσματα του επιπέδου σε διανύσματα n διαστάσεων. Αυτά αποτελούν τον Rn. Μελετάμε υποσύνολα αυτού του χώρου (υπόχωρους) και γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ υποχώρων. Αυτές εκφράζονται με πίνακες, οι οποίοι επίσης αποτελούν αντικείμενο εκτενούς μελέτης στο μάθημα. Τέλος επικεντρωνόμαστε σε προβολές και ελάχιστα τετράγωνα που έχουν σημαντικές εφαρμογές στη στατιστική.
Περίγραμμα
Μέθοδοι διδασκαλίας
Κάθε βδομάδα διανέμεται φυλλάδιο ασκήσεων των οποίων η επίλυση συζητείται στα φροντιστήρια του μαθήματος
Μέθοδοι αξιολόγησης
Στο τέλος του εξάμηνου γίνεται Γραπτή εξέταση εφ’ όλης της ύλης.
Αξιολογούνται η κατανόηση των εννοιών και η δυνατότητα εφαρμογής και χειρισμού τους σε ασκήσεις.
Προτεινόμενα συγγράμματα
1) STRANG G., ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ STRANG G.
2) Lipschutz Seymour, Lipson Marc Lars, Γραμμική Άλγεβρα
3) Δονάτος Γεώργιος Σ., Αδάμ Μαρία Χ., Γραμμική άλγεβρα
Βιβλιογραφία
- Graybill, F. A. (1969), Introduction to Matrices with Applications in Statistics, Wadsworth, Belmont, CA.
- Healy, M.J.R. (1995), Matrices for Statistics, Oxford University Press.
- Harville D.A. (1997), Matrix Algebra from a Statistician's Perspective
- Lay, D. (2011), Linear Algebra and its Applications
- Puntanen S., Styan G.P.H., Isotalo J. (2011), Matrix Tricks for Linear Statistical Models
- Searle, S. R. (1982), Matrix Algebra Useful for Statistics, Wiley.
- Ε. Ξεκαλάκη & Ι. Πανάρετος (1993), Γραμμική Άλγεβρα για Στατιστικές Εφαρμογές, Αθήνα.
- Η. Φλυτζάνης, Γραμμική Αλγεβρα και Εφαρμογές
Συνοπτικά Περιεχόμενα μαθήματος
Ø Ο Rn και οι εξισώσεις της ευθείας και του επιπέδου, γραμμικά συστήματα, πίνακες και ο αλγόριθμος Gauss (6 βδομάδες).
Ø Υπόχωροι, θεμελιώσεις υπόχωροι ενός πίνακα, γραμμικοί μετασχηματισμοί (4 βδομάδες).
Ø Ορθογωνιότητα, προβολές και ελάχιστα τετράγωνα (3 βδομάδες).
Αναλυτικά Περιεχόμενα μαθήματος
Στοιχεία και πράξεις στον Rn , ευθείες και επίπεδα στον Rn.
Πίνακες και πολλαπλασιασμός πινάκων, στοιχειώδεις πίνακες.
Γραμμικά συστήματα: απαλοιφή Gauss και η παραγοντοποίηση PΑ=LDU.
Αντίστροφοι και ανάστροφοι πίνακες, αλγόριθμος Gauss-Jordan.
Συμμετρικοί πίνακες και η παραγοντοποίηση Cholesky.
Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι.
Γραμμικά συστήματα: λύση m εξισώσεων με n αγνώστους και τάξη πίνακα.
Γραμμική ανεξαρτησία, βάσεις και διάσταση.
Οι 4 θεμελιώδεις υπόχωροι ενός πίνακα.Θεμελιώδες Θεώρημα της Γραμμικής Άλγεβρας.
Γραμμικοί μετασχηματισμοί του Rn και πίνακες.
Ορθογώνιοι υπόχωροι, ορθογώνιο συμπλήρωμα υπόχωρου.
Προβολές και προσεγγίσεις ελάχιστων τετραγώνων.
Ορθογώνιοι πίνακες, η ορθογωνιοποίηση Gramm-Schmidt και η παραγοντοποίηση A=QR.
Εβδομαδιαίο Πρόγραμμα και διάρθρωση μαθήματος
ΕΒΔΟΜΑΔΑ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
1-2η
1. Στοιχεία και πράξεις στον Rn.
στοιχεία: σημεία και διανύσματα, γεωμετρικός και αλγεβρικός ορισμός
πράξεις: κανόνες και γεωμετρική ερμηνεία
2. Ευθείες και επίπεδα στον Rn.
αλγεβρικός ορισμός των εξισώσεων της ευθείας και του επιπέδου και γεωμετρική ερμηνεία
3. Μήκος, εσωτερικό γινόμενο και ορθογωνιότητα . (Πηγές: Strang 3.2)
Πυθαγόρειο, ορισμός και πράξεις εσωτερικού γινομένου, ορθογωνιότητα, γωνία διανυσμάτων
Προβολή σε ευθεία, Γεωμετρική και αλγεβρική λύση της εξίσωσης , ανισότητα Cauchy-Schwartz, τριγωνική ανισότητα
3-4η
4. Γεωμετρική ερμηνεία συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. (Πηγές: Strang 1.2 )
Παράδειγμα R3 : λύση συστήματος εξισώσεων ως τομή επιπέδων και λύση ως γραμμικός συνδυασμός στηλών, ιδιαίτερα: συζήτηση της ιδιόμορφης περίπτωσης
5. Συμβολισμός και πολλαπλασιασμός πινάκων. (Πηγές: Strang 1.4)
Ορισμός πίνακα, διανύσματα στηλών, γραμμών, γραφή γραμμικού συστήματος, Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα, με πίνακα, πολ./μος διαμερισμένων πινάκων, Κανόνες, στοιχειώδεις πίνακες, γραφή βήματος Gauss με πίνακες.
5-7η
6. Γραμμικά συστήματα: απαλοιφής Gauss και η παραγοντοποίηση PΑ=LDU (Πηγές: Strang 1.3, 1.5)
Παράδειγμα απαλοιφής Gauss, οδηγοί, θεραπεύσιμη & μη θεραπεύσιμη περίπτωση, Τριγωνικοί παράγοντες και εναλλαγές γραμμών, η παραγοντοποίηση Α=LU (κάτω τριγωνικός * άνω τριγωνικός), γραμμικό σύστημα=2 τριγωνικά, μη ιδιόμορφη περίπτωση PΑ=LDU (P μεταθέσεις γραμμών)
7. Αντίστροφοι και ανάστροφοι. (Πηγές: Str 1.6)
Αντίστροφοι: ορισμός, κανόνες, υπολογισμός με στοιχειώδεις μετατροπές (Gauss-Jordan), αντιστρέψιμος = μη ιδιόμορφος, Ανάστροφοι, κανόνες, συμμετρικός πίνακας και η παραγοντοποίηση A=LDLT
8. (συνέχεια) Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι. (Πηγές: Strang 2.1)
διανυσματικοί χώροι-υπόχωροι: ορισμοί παραδείγματα, Χώρος στηλών του Α και λύσεις γραμμικού συστήματος, Μηδενόχωρος του Α
9. Λύση m εξισώσεων με n αγνώστους. (Πηγές: Strang 2.2)
γενική κλιμακωτή μορφή, PΑ=LU, στήλες με οδηγούς και χωρίς, ελεύθερες και βασικές μεταβλητές, τάξη πίνακα, λύση ειδική και ομογενούς, διάκριση περιπτώσεων: προϋποθέσεις για ύπαρξη και μονοσήμαντο της λύσης
8-10η
10. Γραμμική ανεξαρτησία, βάσεις και διάσταση. (Πηγές: Strang 2.3)
ορισμός, ανεξαρτησία για στήλες και γραμμές κλιμακωτού πίνακα, έλεγχος ανεξαρτησίας με λύση γραμμικού συστήματος, παραγωγή υπόχωρου, παραγωγή και χώρος στηλών πίνακα, βάση, παραγωγή και στήλες πίνακα με οδηγούς, διάσταση, συμπλήρωση βάσης
11. Οι 4 θεμελιώδεις υπόχωροι. (Πηγές: Strang 2.4)
μηδενόχωρος και χώρος στηλών του Α και του ΑΤ: κατασκευή βάσεων από στοιχεία (στήλες, οδηγούς) της διάσπασης Α=LU.
Θεμελιώδες Θεώρημα της Γραμμικής Άλγεβρας Ι (Διαστάσεις των 4 υποχώρων)
12. Γραμμικοί μετασχηματισμοί. (Πηγές: Strang 2.6)
ορισμός, ο πίνακας που αντιστοιχεί σε γραμ. μετασχημ. από Rm στον Rn.
γινόμενο / αντιστροφή πινάκων = σύνθεση / αντιστροφή απεικονίσεων
Παραδείγματα: στροφή, προβολή, αντανάκλαση.
13. Ορθογωνιότητα. (Πηγές: Strang 3.1)
Ορθογώνιοι υπόχωροι, ορθογώνιο συμπλήρωμα, διάσπαση διανύσματος σε άθροισμα από ορθογώνια.
Θεμελιώδες Θεώρημα της Γραμμικής Άλγεβρας ΙΙ (Ορθογωνιότητα των 4 υποχώρων)
11-13η
14. Προβολές και προσεγγίσεις ελάχιστων τετραγώνων. (Πηγές: Strang 3.3)
προβολή σε μία και πολλές μεταβλητές, ελάχιστα τετράγωνα, ο πίνακας ΑΤΑ, πίνακας προβολών
15. Ορθογώνιοι πίνακες και Gramm-Schmidt. (Πηγές: Strang 3.4)
ορισμός, αντίστροφος, ισομετρία, πίνακες με ορθοκανονικές στήλες, σχέση με προβολές. ορθογωνιοποίηση Gramm-Schmidt, παραγοντοποίηση A=QR.
Κάθε βδομάδα διανέμεται φυλλάδιο ασκήσεων των οποίων η επίλυση συζητείται στα φροντιστήρια του μαθήματος
Στο τέλος του εξάμηνου γίνεται Γραπτή εξέταση εφ’ όλης της ύλης.
Αξιολογούνται η κατανόηση των εννοιών και η δυνατότητα εφαρμογής και χειρισμού τους σε ασκήσεις.
1) STRANG G., ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ STRANG G.
2) Lipschutz Seymour, Lipson Marc Lars, Γραμμική Άλγεβρα
3) Δονάτος Γεώργιος Σ., Αδάμ Μαρία Χ., Γραμμική άλγεβρα
- Graybill, F. A. (1969), Introduction to Matrices with Applications in Statistics, Wadsworth, Belmont, CA.
- Healy, M.J.R. (1995), Matrices for Statistics, Oxford University Press.
- Harville D.A. (1997), Matrix Algebra from a Statistician's Perspective
- Lay, D. (2011), Linear Algebra and its Applications
- Puntanen S., Styan G.P.H., Isotalo J. (2011), Matrix Tricks for Linear Statistical Models
- Searle, S. R. (1982), Matrix Algebra Useful for Statistics, Wiley.
- Ε. Ξεκαλάκη & Ι. Πανάρετος (1993), Γραμμική Άλγεβρα για Στατιστικές Εφαρμογές, Αθήνα.
- Η. Φλυτζάνης, Γραμμική Αλγεβρα και Εφαρμογές
Ø Ο Rn και οι εξισώσεις της ευθείας και του επιπέδου, γραμμικά συστήματα, πίνακες και ο αλγόριθμος Gauss (6 βδομάδες).
Ø Υπόχωροι, θεμελιώσεις υπόχωροι ενός πίνακα, γραμμικοί μετασχηματισμοί (4 βδομάδες).
Ø Ορθογωνιότητα, προβολές και ελάχιστα τετράγωνα (3 βδομάδες).
Στοιχεία και πράξεις στον Rn , ευθείες και επίπεδα στον Rn.
Πίνακες και πολλαπλασιασμός πινάκων, στοιχειώδεις πίνακες.
Γραμμικά συστήματα: απαλοιφή Gauss και η παραγοντοποίηση PΑ=LDU.
Αντίστροφοι και ανάστροφοι πίνακες, αλγόριθμος Gauss-Jordan.
Συμμετρικοί πίνακες και η παραγοντοποίηση Cholesky.
Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι.
Γραμμικά συστήματα: λύση m εξισώσεων με n αγνώστους και τάξη πίνακα.
Γραμμική ανεξαρτησία, βάσεις και διάσταση.
Οι 4 θεμελιώδεις υπόχωροι ενός πίνακα.Θεμελιώδες Θεώρημα της Γραμμικής Άλγεβρας.
Γραμμικοί μετασχηματισμοί του Rn και πίνακες.
Ορθογώνιοι υπόχωροι, ορθογώνιο συμπλήρωμα υπόχωρου.
Προβολές και προσεγγίσεις ελάχιστων τετραγώνων.
Ορθογώνιοι πίνακες, η ορθογωνιοποίηση Gramm-Schmidt και η παραγοντοποίηση A=QR.
|
ΕΒΔΟΜΑΔΑ |
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ |
|
1-2η |
1. Στοιχεία και πράξεις στον Rn. στοιχεία: σημεία και διανύσματα, γεωμετρικός και αλγεβρικός ορισμός πράξεις: κανόνες και γεωμετρική ερμηνεία 2. Ευθείες και επίπεδα στον Rn. αλγεβρικός ορισμός των εξισώσεων της ευθείας και του επιπέδου και γεωμετρική ερμηνεία 3. Μήκος, εσωτερικό γινόμενο και ορθογωνιότητα . (Πηγές: Strang 3.2) Πυθαγόρειο, ορισμός και πράξεις εσωτερικού γινομένου, ορθογωνιότητα, γωνία διανυσμάτων Προβολή σε ευθεία, Γεωμετρική και αλγεβρική λύση της εξίσωσης , ανισότητα Cauchy-Schwartz, τριγωνική ανισότητα
|
|
3-4η |
4. Γεωμετρική ερμηνεία συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. (Πηγές: Strang 1.2 ) Παράδειγμα R3 : λύση συστήματος εξισώσεων ως τομή επιπέδων και λύση ως γραμμικός συνδυασμός στηλών, ιδιαίτερα: συζήτηση της ιδιόμορφης περίπτωσης 5. Συμβολισμός και πολλαπλασιασμός πινάκων. (Πηγές: Strang 1.4) Ορισμός πίνακα, διανύσματα στηλών, γραμμών, γραφή γραμμικού συστήματος, Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα, με πίνακα, πολ./μος διαμερισμένων πινάκων, Κανόνες, στοιχειώδεις πίνακες, γραφή βήματος Gauss με πίνακες.
|
|
5-7η |
6. Γραμμικά συστήματα: απαλοιφής Gauss και η παραγοντοποίηση PΑ=LDU (Πηγές: Strang 1.3, 1.5) Παράδειγμα απαλοιφής Gauss, οδηγοί, θεραπεύσιμη & μη θεραπεύσιμη περίπτωση, Τριγωνικοί παράγοντες και εναλλαγές γραμμών, η παραγοντοποίηση Α=LU (κάτω τριγωνικός * άνω τριγωνικός), γραμμικό σύστημα=2 τριγωνικά, μη ιδιόμορφη περίπτωση PΑ=LDU (P μεταθέσεις γραμμών) 7. Αντίστροφοι και ανάστροφοι. (Πηγές: Str 1.6) Αντίστροφοι: ορισμός, κανόνες, υπολογισμός με στοιχειώδεις μετατροπές (Gauss-Jordan), αντιστρέψιμος = μη ιδιόμορφος, Ανάστροφοι, κανόνες, συμμετρικός πίνακας και η παραγοντοποίηση A=LDLT 8. (συνέχεια) Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι. (Πηγές: Strang 2.1) διανυσματικοί χώροι-υπόχωροι: ορισμοί παραδείγματα, Χώρος στηλών του Α και λύσεις γραμμικού συστήματος, Μηδενόχωρος του Α 9. Λύση m εξισώσεων με n αγνώστους. (Πηγές: Strang 2.2) γενική κλιμακωτή μορφή, PΑ=LU, στήλες με οδηγούς και χωρίς, ελεύθερες και βασικές μεταβλητές, τάξη πίνακα, λύση ειδική και ομογενούς, διάκριση περιπτώσεων: προϋποθέσεις για ύπαρξη και μονοσήμαντο της λύσης
|
|
8-10η |
10. Γραμμική ανεξαρτησία, βάσεις και διάσταση. (Πηγές: Strang 2.3) ορισμός, ανεξαρτησία για στήλες και γραμμές κλιμακωτού πίνακα, έλεγχος ανεξαρτησίας με λύση γραμμικού συστήματος, παραγωγή υπόχωρου, παραγωγή και χώρος στηλών πίνακα, βάση, παραγωγή και στήλες πίνακα με οδηγούς, διάσταση, συμπλήρωση βάσης 11. Οι 4 θεμελιώδεις υπόχωροι. (Πηγές: Strang 2.4) μηδενόχωρος και χώρος στηλών του Α και του ΑΤ: κατασκευή βάσεων από στοιχεία (στήλες, οδηγούς) της διάσπασης Α=LU. Θεμελιώδες Θεώρημα της Γραμμικής Άλγεβρας Ι (Διαστάσεις των 4 υποχώρων) 12. Γραμμικοί μετασχηματισμοί. (Πηγές: Strang 2.6) ορισμός, ο πίνακας που αντιστοιχεί σε γραμ. μετασχημ. από Rm στον Rn. γινόμενο / αντιστροφή πινάκων = σύνθεση / αντιστροφή απεικονίσεων Παραδείγματα: στροφή, προβολή, αντανάκλαση. 13. Ορθογωνιότητα. (Πηγές: Strang 3.1) Ορθογώνιοι υπόχωροι, ορθογώνιο συμπλήρωμα, διάσπαση διανύσματος σε άθροισμα από ορθογώνια. Θεμελιώδες Θεώρημα της Γραμμικής Άλγεβρας ΙΙ (Ορθογωνιότητα των 4 υποχώρων)
|
|
11-13η |
14. Προβολές και προσεγγίσεις ελάχιστων τετραγώνων. (Πηγές: Strang 3.3) προβολή σε μία και πολλές μεταβλητές, ελάχιστα τετράγωνα, ο πίνακας ΑΤΑ, πίνακας προβολών 15. Ορθογώνιοι πίνακες και Gramm-Schmidt. (Πηγές: Strang 3.4) ορισμός, αντίστροφος, ισομετρία, πίνακες με ορθοκανονικές στήλες, σχέση με προβολές. ορθογωνιοποίηση Gramm-Schmidt, παραγοντοποίηση A=QR.
|
|
|
|
