ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ (Ακ. Έτος 2016-17)

Το μάθημα σκοπεύει στην εισαγωγή σε βασικές έννοιες γραμμικής άλγεβρας, τεχνικών επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, (εφόσον το επιτρέπει ο χρόνος) βελτιστοποίησης ομαλών συναρτήσεων υπό ομαλούς ανισοτικούς περιορισμούς, και εφαρμογών αυτών στην οικονομική θεωρία, ή/και στην στατιστική και την οικονομετρία. Τα παραπάνω σκέλη του μαθήματος δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, καθώς π.χ. αντικείμενα μελέτης στην γραμμική άλγεβρα συναντώνται και εφαρμόζονται και στα υπόλοιπα, ενώ γενικεύσεις των προαναφερθέντων προβλημάτων είναι δυνατόν να λύνονται βάσει συνθηκών που έχουν την μορφή διαφορικών εξισώσεων, κ.λ.π.

Η γραμμική άλγεβρα αποτελεί (εν μέρει) την συλλογή των εννοιών που αφορούν στους διανυσματικούς χώρους και τις γραμμικές συναρτήσεις μεταξύ τους (μορφισμοί). Θα περιοριστούμε στην μελέτη ιδιοτήτων διανυσματικών χώρων επί των πραγματικών αριθμών, και των μορφισμών μεταξύ τους, που στην συγκεκριμένη περίπτωση αναπαρίστανται από πραγματικές μήτρες (πίνακες). Χρησιμοποιώντας αυτές τις ιδιότητες, θα μπορούμε π.χ. να καταλαβαίνουμε το γιατί το πλήθος των λύσεων των γραμμικών συστημάτων δεν μπορεί να είναι ίσο με κάποιο φυσικό διάφορο του μηδέν και του ένα.

Διαφορική εξίσωση ονομάζεται όποια σχέση εμπλέκει κατάλληλα παραγωγίσιμη συνάρτηση με τις παραγώγους αυτής, και λύση αυτής όποια τέτοια συνάρτηση την ικανοποιεί. Οι τεχνικές επίλυσης τέτοιων εξισώσεων (μπορεί να) έχουν σχέση με διαδικασίες ολοκλήρωσης, ενώ σε κάποιες κατηγορίες εξισώσεων, π.χ. γραμμικά συστήματα εξισώσεων, συναντώνται άμεσα έννοιες που θα έχουμε δει προηγουμένως, όπως εν προκειμένω το εκθετικό μήτρας.

Στα προαναφερθέντα προβλήματα βελτιστοποίησης οι αντικειμενικές συναρτήσεις είναι κατάλληλα παραγωγίσιμες πραγματικές συναρτήσεις ενώ τα εφικτά σύνολα θα αναπαρίστανται από ομαλά συστήματα ανισώσεων. Αυτά είναι γενικεύσεις των προβλημάτων ισοτικών περιορισμών που έχουν μελετηθεί. Οι αναγκαίες συνθήκες για επίλυση (συνθήκες Karush-Kuhn-Tucker-ΚΚΤ) προκύπτουν από την σχετική γενίκευση της μεθόδου των πολλαπλασιατών Lagrange, σε κάποιες περιπτώσεις είναι και επαρκείς, ενώ γενικά οι επαρκείς συνθήκες θα εμπλέκουν χαρακτηρισμό Εσσιανής μήτρας.