6.Συναρτήσεις δύο μεταβλητών

6.1: Ορισμός
     Έστω D υποσύνολο του xy-επιπέδου. Κάθε κανόνας f, ο οποίος αντιστοιχεί ακριβώς έναν πραγματικό αριθμό f(x,y) σε κάθε στοιχείο (x,y) του D, ονομάζεται συνάρτηση δύο μεταβλητών με πεδίο ορισμού το D.
Παραδείγματα
α) f(x,y) = x²y+5
    Πεδίο ορισμού της f, είναι όλο το xy-επίπεδο.

β) f(x,y) =
     Πεδίο ορισμού της f, είναι το σύνολο των σημείων (x,y) για τα οποία ισχύει x²+y² < 1. Δηλαδή είναι το σύνολο των σημείων ενός κλειστού δίσκου που έχει κέντρο στο (0,0) και ακτίνα 1.
Εάν z=f(x,y), οι μεταβλητές x  και y ονομάζονται ανεξάρτητες μεταβλητές, ενώ η z εξαρτημένη μεταβλητή.

6.2: Γραφική παράσταση


Γραφική παράσταση της f ονομάζουμε το σύνολο των σημείων (x,y,z) των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση z=f(x,y). (Δηλαδή για να σχηματίσουμε την γραφική παράσταση της f παριστάνουμε τις τιμές της f(x,y) ως ύψη z πάνω από τα αντίστοιχα σημεία (x,y). Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο.


Παραδείγματα
α) f(x,y) = x²+y²            β) f(x,y) =
         

γ)   f(x,y) = x²-y²             δ)   f(x,y) =
  

 

6.3: Ισοσταθμικές καμπύλες
Έστω συνάρτηση z=f(x,y). Θεωρούμε ένα επίπεδο Π, με εξίσωση z=c, το οποίο τέμνει την γραφική παράσταση της f. (Προφανώς το Π είναι παράλληλο προς το xy-επίπεδο και ο αριθμός |c| προσδιορίζει την απόσταση του Π απ'αυτό.)


Η τομή του Π με την επιφάνεια z=f(x,y), θα είναι μια καμπύλη στο χώρο, η οποία έχει για σημεία της , όλα τα σημεία (x,y,z) για τα οποία ισχύει: z=f(x,y) και z=c. Δηλαδή θα είναι όλα τα σημεία (x,y,c) για τα οποία f(x,y)=c. Προβάλλουμε την καμπύλη αυτή πάνω στο xy-επίπεδο. Η προβολή της, θα είναι μια καμπύλη που θα έχει για σημεία της, όλα τα σημεία (x,y,0) για τα οποία ισχύει f(x,y)=c. Με άλλα λόγια θα είναι μια καμπύλη στο xy-επίπεδο στα σημεία της οποίας η f παίρνει σταθερή τιμή c. Καμπύλες αυτού του τύπου θα τις ονομάζουμε ισοσταθμικές καμπύλες της f.

Ερώτηση:
Τι είδους καμπύλες είναι οι ισοσταθμικές των παρακάτω συναρτήσεων;
i) f(x,y)=x²+y²  ,  ii) f(x,y)=y²-x²  ,  iii) f(x,y)=4-x-2y ,
iv) f(x,y)=xy  ,  v) f(x,y)=x²/9 + y²/4 . Απαντήσεις ( i , ii , iii , iv , v )

Παρατήρηση: Όπως είδαμε και προηγουμένως, οι ισοσταθμικές καμπύλες μιας συνάρτησης αποτελούν ουσιαστικά την αποτύπωση της γραφικής της παράστασης στο xy-επίπεδο. Επομένως αυτές μπορούν να μας φανούν χρήσιμες στο να βγάζουμε συμπεράσματα για την μορφή που θα έχει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

6.4: Συνέχεια

   Μια ακολουθία σημείων < P_i ( x_i , y_i ) > θα λέμε ότι τείνει σε κάποιο σημείο P_o(x_o , y_o ) αν το ίδιο ισχύει για τις ακολουθίες των αντιστοίχων συντεταγμένων τους^. δηλαδή P_i ( x_i , y_i ) P_o(x_o , y_o ) αν x_i x_o και y_i y_o.
   Μια συνάρτηση f(x,y) θα λέμε ότι είναι συνεχής σε κάποιο σημείο P_o αν για κάθε ακολουθία σημείων P_i που τείνει σ'αυτό (P_i P_o), ισχύει το ίδιο και για τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης ( f (P_i) f(P_o) ).
   Οι ασυνέχειες μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών εκδηλώνονται γεωμετρικά με "διακοπές" της επιφανείας που αποτελεί την γραφική της παράσταση.
Παράδειγμα  Θεωρούμε την συνάρτηση

Εδώ υπάρχουν ακολουθίες σημείων P_i , οι οποίες τείνουν στο σημείο (2,3) και για τις οποίες έχουμε f(P_i)24. Όμως f(2,3)=024. Άρα η f(x,y) δεν είναι συνεχής στο σημείο (2,3) Στην γραφική παράσταση της f(x,y) παραπλεύρως η κατακόρυφη ευθεία (x=2,y=3,z=t) η παράλληλη προς τον z-άξονα δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την επιφάνεια παρά μόνο με το μοναχικό σημείο της επιφανείας το (2,3,0) που βρίσκεται στο xy-επίπεδο.








Την ασυνέχεια της f(x,y) μπορούμε να διακρίνουμε από την γραφική παράσταση των ισοσταθμικών της. Το οριζόντιο επίπεδο z=24 τέμνει την επιφάνεια έτσι ώστε η αντίστοιχη ισοσταθμική παρουσιάζει ασυνέχεια στο σημείο (2,3).

Η συνάρτηση θα γίνει συνεχής εάν ορίσουμε να παίρνει την τιμή 24 όταν (x,y)=(2,3). Δηλαδή να είναι f(2,3)=24.

6.5:Περιοχές του επιπέδου
Μια εξίσωση της μορφής g(x,y)=c ορίζει μια καμπύλη στο xy-επίπεδο, η οποία το χωρίζει σε δύο υποπεριοχές, όπου τα σημεία της καθεμιάς ικανοποιούν μια από τις ανισώσεις.
         g(x,y) < c       ή     g(x,y) > c                      (6.1)
Παράδειγμα
Η ανισότητα x²+y²>2 χαρακτηρίζει τα εκτός της περιφέρειας σημεία του επιπέδου ενώ η x²+y²<2 χαρακτηρίζει τα εσωτερικά σημεία της περιφέρειας.

 

 

Έχουμε επίσης τις σχέσεις
         g(x,y) < c      ή      g(x,y) > c                       (6.2)
Όπου η καθεμιά μαζί με την αντίστοιχη περιοχή περιλαμβάνει και τα σημεία της καμπύλης
                                 g(x,y) = c                           (6.3)
  Υποθέτοντας ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής ονομάζουμε τις περιοχές της μορφής (6.1) ανοικτές και αυτές της μορφής (6.2) κλειστές. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις η καμπύλη (6.3) ονομάζεται σύνορο της περιοχής.Έτσι μια κλειστή περιοχή περιέχει και το σύνορό της ενώ μια ανοικτή δεν το περιέχει.
  Μια περιοχή ονομάζεται φραγμένη αν περιέχεται μέσα σε κάποιο κύκλο δηλαδή αν τα σημεία της δεν τείνουν στο άπειρο.
  Μια κλειστή και φραγμένη περιοχή ονομάζεται συμπαγής.
  Γειτονιά ενός σημείου (x_o,y_o) στο επίπεδο θα ονομάζουμε έναν ανοικτό δίσκο Ν, ο οποίος έχει για κέντρο του το (x_o,y_o). Με άλλα λόγια
             
όπου ο r εκφράζει την ακτίνα του δίσκου Ν.

6.6: Μερικές παράγωγοι
      Έστω συνάρτηση z=f(x,y), την οποία θεωρούμε σε κάποιο σημείο (x,y) του πεδίου ορισμού της. Κρατάμε την μεταβλητή y σταθερή και μεταβάλλουμε την x κατά Δx. Η μεταβολή στην τιμή της f θα είναι:
Δ_xz=Δ_xf=f(x+Δx,y)-f(x,y)    και επομένως το όριο
                                                  (6.4)
θα εκφράζει τον οριακό ρυθμό μεταβολής στις τιμές της f, ως προς την μεταβολή της x.
   Στην συνέχεια κάνουμε το ίδιο, κρατώντας αυτή την φορά την μεταβλητή x σταθερή και μεταβάλλοντας την y κατά Δy. Η μεταβολή στην τιμή f θα είναι: Δ_yz=Δ_yf=f(x,y+Δy)-f(x,y)  και επομένως το όριο
                                                   (6.5)
θα εκφράζει τον οριακό ρυθμό μεταβολής στις τιμές της f, ως προς την μεταβολή της y.
Τα όρια των (6.4) και (6.5) τα ονομάζουμε μερικές παράγωγοι της f ως προς x και y αντίστοιχα και τις συμβολίζουμε με f_x(x,y) και f_y(x,y) ή

Δηλαδή έχουμε

Παράδειγμα: Θεωρούμε την συνάρτηση        f(x,y)=x²-xy+y²
Έχουμε

και

Παρατήρηση: Επειδή στον ορισμό των μερικών παραγώγων κρατάμε πάντα την μια μεταβλητή σταθερά, αυτές μπορούν να θεωρηθούν σαν οι συνηθισμένες παράγωγοι ως προς την άλλη μεταβλητή.
     Έτσι στην πράξη μπορούμε να αποφύγουμε την διαδικασία των ορίων και να παραγωγίζουμε χρησιμοποιώντας όλους τους γνωστούς κανόνες παραγώγισης που γνωρίζουμε για τις συναρτήσεις με μια μεταβλητή.
Παράδειγμα: Εάν f(x,y)=x²+xy³+e^xy, έχουμε
f_x(x,y)=2x+y³+e^xyy , f_y(x,y)=3y²x+e^xyx.

6.7: Γεωμετρική ερμηνεία μερικών παραγώγων
       Έστω συνάρτηση f με τύπο z=f(x,y). Θεωρούμε την μερική παράγωγο της f ως προς x, σε κάποιο σημείο (x_o,y_o) του πεδίου ορισμού της. Θα έχουμε
                    (6.6)
Η τομή της επιφανείας,  που αποτελεί την     γραφική παράσταση της f(x,y), και του επιπέδου y=y_o, θα είναι μια καμπύλη C στον τρισδιάστατο χώρο. Η καμπύλη C θα περιέχει για σημεία της, όλα τα σημεία (x,y,z) για τα οποία ισχύει: z=f(x,y) και y=y_o , δηλαδή η C θα έχει για σημεία της , όλα τα σημεία (x,y_o,z) για τα οποία ισχύει z=f(x,y_ο). Η σχέση z=f(x,y_ο) ορίζει μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, η γραφική παράσταση της οποίας είναι πάνω στο xz-επίπεδο. Άρα η γραφική παράσταση της z=f(x,y_ο) θα αποτελεί ουσιαστικά την προβολή της C πάνω στο xz-επίπεδο.
Ορίζουμε g(x)=f(x,y_o) και παρατηρούμε ότι g΄(x)=f_x(x,y_o).
Άρα g΄(x_ο)=f_x(x_ο,y_o)    ( Βλέπε σχέση 6.6 ) και επομένως ο αριθμός f_x(x_ο,y_o) εκφράζει την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας στην καμπύλη C στο σημείο P(x_o , y_o , f(x_o,y_o)).
Σημείωση: Η γεωμετρική ερμηνεία της άλλης μερικής παραγώγου είναι αντίστοιχη.

6.8: Δεύτερες μερικοί παράγωγοι
       Οι μερικές παράγωγοι f_x(x,y) και f_y(x,y) μιας συνάρτησης f(x,y) δύο μεταβλητών είναι επίσης συναρτήσεις δύο μεταβλητών και μπορούν να παραγωγιστούν εκ νέου δίνοντας τις δεύτερες μερικές παραγώγους που είναι τέσσερεις τον αριθμό: f_xx(x,y) , f_xy(x,y) , f_yx(x,y) , f_yy(x,y) ή
αντίστοιχα.
Παράδειγμα: Θεωρούμε την συνάρτηση f(x,y)=x³y-xy² οπότε έχουμε,
f_x(x,y)=3x²y-y²                f_y(x,y)=x³-2yx
f_xy(x,y)=3x²-2y               f_yx(x,y)=3x²-2y
f_xx(x,y)=6xy                     f_yy(x,y)=-2x

6.9: Αλυσωτή παραγώγιση

Οι μεταβλητές που εμφανίζονται σ'ένα πρόβλημα μπορεί να συνδέονται μεταξύ τους με περισσότερες από μια συναρτήσεις.
Για παράδειγμα μπορεί να έχουμε μια εξαρτημένη μεταβλητή z που δίνεται από την συνάρτηση z=f(x,y), όπου τα x,y δεν είναι ανεξάρτητα , αλλά καθορίζονται από τις τιμές άλλων μεταβλητών s,t μέσω συναρτήσεων x=x(s,t), y=y(s,t)^. οι οποίες επίσης μπορεί να καθορίζονται ως συναρτήσεις άλλων μεταβλητών κ.ο.κ.
Μια τέτοια σύνθεση συναρτήσεων περιγράφεται από ένα γράφημα που ονομάζεται ΔΕΝΤΡΟ ΕΞΑΡΤΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ.
Παραδείγματα:
α) Έστω z=f(x,y) όπου x=x(s,t) και y=y(s,t).


Δέντρο εξάρτησης μεταβλητών


     z   :  εξαρτημένη μεταβλητή
    x,y :  ενδιάμεσες   μεταβλητές
    s,t  :  ανεξάρτητες μεταβλητές

β)Έστω z=f(x,y) όπου x=x(t) και y=y(t).


Δέντρο εξάρτησης μεταβλητών


     z   :  εξαρτημένη μεταβλητή
    x,y :  ενδιάμεσες   μεταβλητές
      t  :  ανεξάρτητη μεταβλητή

Στους διάφορους τύπους αλυσωτής παραγώγισης εκφράζουμε   την παράγωγο της εξαρτημένης μεταβλητής ως προς μία από τις   τελικά ανεξάρτητες μεταβλητές λαμβάνοντας υπ'όψη τα ενδιάμεσα   στάδια εξάρτησης

Ο πρώτος κανόνας αλυσωτής παραγώγισης που θα αναφέρουμε έχει σχέση με την περίπτωση του παραδείγματος β.

Ας επαληθεύσουμε τον προηγούμενο κανόνα για το εξής παράδειγμα :
z=f(x,y)=x²+xy, όπου x=x(t)=2t και y=y(t)=.
Τότε έχουμε  z=f(t)=4t²+2t^3/2
Για τις παραγώγους των παραπάνω συναρτήσεων ισχύουν τα εξής:

Δηλαδή επαληθεύεται ο προηγούμενος κανόνας.

 
Ας δούμε αυτή τη διαδικασία, να εφαρμόζεται σε κάποια παραδείγματα.
Παραδείγματα:
α) Έστω z=z(x,y), όπου y=y(x). Σ'αυτή την περίπτωση η z μπορεί να εκφρασθεί σαν συνάρτηση του x,
                                                      z=z(x,y(x))=z(x)
και η παράγωγος θα είναι:
                                

β) Έστω z=z(x,y) όπου x=x(s,t) και   y=y(s,t). Εδώ η z μπορεί να εκφρασθεί σαν συνάρτηση των s , t           z=z(x(s,t),y(s,t))=z(s,t) και οι μερικές παράγωγοι θα είναι:

       



   

         

           


γ) Έστω z=z(x,y) όπου y=y(x,t). Εδώ η z μπορεί να εκφρασθεί σαν συνάρτηση των x , t        z=z(x,y(x,t))=z(x,t)    και οι μερικές παράγωγοι θα είναι:







      
                   (6.7)        






Παρατήρηση: Εδώ παρατηρούμε ότι τα    που εμφανίζονται στο αριστερό και το δεξιό μέλος της (6.7) είναι εντελώς διαφορετικά μεγέθη.
Στο αριστερό μέλος έχουμε την τελική εξάρτηση του z από τα x και t, ενώ στο δεξιό μέλος, την ενδιάμεση εξάρτηση του z από τα  x και y. Δηλαδή έχουμε :    
 
   
όπου οι δείκτες δηλώνουν τις μεταβλητές που κρατάμε σταθερές στην διαδικασία της παραγώγισης.
  Ας επαληθεύσουμε τον προηγούμενο κανόνα αλυσωτής παραγώγισης, για ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.
Έστω z=z(x,y)=xy όπου y=y(x,t)=x+xt.
Τότε έχουμε  z=z(x,y(x,t))=z(x.t)=x(x+xt)=x²+x²t.
Για τις παραγώγους των παραπάνω συναρτήσεων ισχύουν τα εξής :

και επομένως επαληθεύεται ο κανόνας (6.7).

6.10: Παράγωγος κατά κατεύθυνση
         Στο Κεφ 6.6 ορίσαμε για μια συνάρτηση f δύο μεταβλητών τις μερικές παραγώγους, οι οποίες εκφράζουν τους οριακούς ρυθμούς μεταβολής στις τιμές της, για μετατοπίσεις στο xy-επίπεδο κατά την κατεύθυνση των δύο αξόνων.
Υπενθυμίζουμε
           

   Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε μετατοπίσεις Δs στο xy-επίπεδο προς κατευθύνσεις διαφορετικές από αυτές των δύο αξόνων. Μια τέτοια κατεύθυνση καθορίζεται από την γωνία θ που σχηματίζει με τον x-άξονα και αντιστοιχεί σε ταυτόχρονη μεταβολή των x και y κατά:
Δx=Δs cosθ         και  Δy=Δs sinθ


Ορισμός Η παράγωγος της f κατά κατεύθυνση θ, στο σημείο (x,y) συμβολίζεται με D_θf(x,y) και ορίζεται ως το μέγεθος

         Όπως βλέπουμε στον προηγούμενο ορισμό η D_θf(x,y) εκφράζει τον οριακό ρυθμό μεταβολής στις τιμές της f για μετατοπίσεις στο xy-επίπεδο κατά την κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία θ με τον x-άξονα.
         Το επόμενο θεώρημα που θα αναφέρουμε, είναι πολύ χρήσιμο στον υπολογισμό του ορίου με το οποίο ισούται η D_θf(x,y).

   Χρησιμοποιώντας το θεώρημα 6.1 έχουμε τα εξής:

διότι όταν Δs0 ,  Δx , Δy 0 και άρα   n₁ , n₂ 0
Επομένως

Παρατηρήσεις:
(1)    D₀f(x,y)=f_x(x,y)  ,   D_π/2f(x,y)=f_y(x,y)
(2) Εάν ονομάσουμε το διάνυσμα , διάνυσμα κλίσης της f στο (x,y), παρατηρούμε ότι:
D_θf(x,y)=f_x(x,y)cosθ+f_y(x,y)sinθ=(f_x(x,y) +f_y(x,y) ).(cosθ +sinθ )=
(f(x,y))(cosθ +sinθ ) όπου (cosθ +sinθ ) το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση θ.
Όμως (f(x,y))(cosθ+sinθ) =|f(x,y)|cosφ όπου φ η γωνία που σχηματίζει το f(x,y) με την κατεύθυνση θ.
Άρα D_θf(x,y)=|f(x,y)|cosφ και επομένως -|f(x,y)| < D_θf(x,y)   < |f(x,y)|.
Εάν φ=0        D_θf(x,y)=|f(x,y)|
Εάν φ=π        D_θf(x,y)=-|f(x,y)|
όλα αυτά μας επιτρέπουν να βγάλουμε τα εξής συμπεράσματα.

Παράδειγμα: Το ύψος h ενός βουνού στην θέση (x,y) περιγράφεται από την συνάρτηση h(x,y)=4e^-x2 +3e^-2y2. Αν ξεκινήσουμε από το σημείο (1,2), προς ποιά κατεύθυνση πρέπει να αρχίσουμε να προχωράμε για να σκαρφαλώσουμε γρηγορότερα;

Απάντηση: Θα βρούμε το διάνυσμα κλίσης της h(x,y) στο σημείο (1,2), οπότε έχουμε :  h_x(x,y)=4e^-x2 (-2x)=-8xe^-x2   ,  h_y(x,y)=3e^-2y2(-4y)=-12ye^-2y2
Άρα  h(x,y)=(-8xe^-x2) +(-12ye^-2y2)   οπότε  h(1,2)=(-8e^-1) +(-24e^-8) .
Θα πρέπει να κινηθούμε προς την κατεύθυνση του h(1,2), διότι προς αυτήν την κατεύθυνση οι τιμές της h(x,y) αυξάνονται με τον γρηγορότερο ρυθμό.

6.11: Τοπικά ακρότατα σημεία
Ορισμός: Έστω f συνάρτηση δύο μεταβλητών, η οποία ορίζεται σε κάποιο σύνολο S. Το σημείο (x_o,y_o) θα αποτελεί τοπικό μέγιστο σημείο (τοπικό ελάχιστο σημείο) για την f, εάν υπάρχει γειτονιά Ν του (x_o,y_o) τέτοια ώστε
                      f(x_o,y_o) > f(x,y)       (f(x_o,y_o) < f(x,y))
για όλα τα (x,y).

• Τα τοπικά μέγιστα  (ελάχιστα) σημεία της f, ονομάζονται και τοπικά ακρότατα σημεία της.

• Εάν το (x_o,y_o) είναι τοπικό ακρότατατο σημείο, ο αριθμός z_o=f(x_o,y_o) ονομάζεται τοπική ακρότατη τιμή της f .
  

  Θεώρημα 6.2: Εάν το (xo,yo) αποτελεί τοπικό ακρότατο σημείο για την f, τότε μια από τις παρακάτω προτάσεις πρέπει να ισχύει: (i)   fx(xo,yo)=fy(xo,yo)=0,    ή (ii)  τουλάχιστον μια από τις   fx(xo,yo) , fy(xo,yo) δεν υπάρχει.

Εσωτερικά σημεία (*) του πεδίου ορισμού της f στα οποία μηδενίζονται οι δύο μερικές παράγωγοι (δηλ. ικανοποιούν την συνθήκη (i) του θεωρήματος 6.2), θα τα ονομάζουμε ελεύθερα στάσιμα σημεία της f.
(* Ένα σημείο (x_o,y_o), θα λέμε ότι βρίσκεται στο εσωτερικό μιας περιοχής R, εάν υπάρχει γειτονιά του (x_o,y_o),της οποίας όλα τα σημεία ανήκουν στην R)

Παραδείγματα: 
α) Θεωρούμε την συνάρτηση f(x,y)= -x²-y² .


H f  ορίζεται σε κάθε σημείο του xy-επιπέδου και το σημείο (0,0) αποτελεί προφανώς τοπικό μέγιστο σημείο της. Παρατηρούμε ότι σ'αυτό το σημείο μηδενίζονται οι δύο μερικές παράγωγοι της f, δηλαδή ισχύει η συνθήκη (i) του θεωρήματος 6.2

β) Θεωρούμε την συνάρτηση f(x,y)=3+2

Η f έχει γραφική παράσταση έναν κυκλικό κώνο με κορυφή το σημείο (0,0,3). H f  ορίζεται σε κάθε σημείο του xy-επιπέδου και το σημείο (0,0) αποτελεί προφανώς τοπικό ελάχιστο σημείο για την f.
Παρατηρούμε ότι σ'αυτό το σημείο οι δύο μερικές παράγωγοι της f,

δεν ορίζονται (δηλαδή ισχύει η συνθήκη (ii) του θεωρήματος 6.2)
Παρατήρηση Το θεώρημα, μας δίνει μια αναγκαία συνθήκη για να αποτελεί ένα σημείο (x_o,y_o) ακρότατο σημείο της f. Η συνθήκη αυτή όπως φαίνεται στο επόμενο παράδειγμα δεν είναι και ικανή.

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x,y)=y²-x².
Έχουμε  ότι f_x(x,y)=-2x  ,  f_y(x,y)=2y, οι οποίες ορίζονται σε κάθε σημείο του xy-επιπέδου.
Παρατηρούμε ότι  f_x(x,y)=f_y(x,y)=0, μόνον όταν (x,y)=(0,0). Όμως, όπως θα αποδείξουμε στην συνέχεια, το σημείο (0,0) δεν αποτελεί τοπικό ακρότατο σημείο για την f.
Ας υποθέσουμε ότι το (0,0) αποτελεί τοπικό μέγιστο για την f. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει γειτονιά Ν του (0,0) για την οποία ισχύει ότι
                     f(0,0) > f(x,y)                                (6.8)
για όλα τα σημεία (x,y) που ανήκουν στην περιοχή Ν.
Θεωρούμε ένα σημείο  (0,h), το οποίο ανήκει   στην γειτονιά Ν.
(Ένα τέτοιο σημείο προφανώς υπάρχει αρκεί το h να είναι επαρκώς μικρό)
  Άρα από την (6.8), θα έχουμε f(0,0) > f(0,h) δηλαδή 0 > h² , το οποίο είναι άτοπο. Επομένως στο (0,0) η f  δεν μπορεί να παίρνει τοπική μέγιστη τιμή. Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι δεν μπορεί να παίρνει και τοπική ελάχιστη τιμή.

• Ελεύθερα στάσιμα σημεία της f, στα οποία δεν έχουμε τοπική ακρότατη τιμή, τα ονομάζουμε σαγματικά σημεία.
  

Το επόμενο θεώρημα μας βοηθά να ξεχωρίζουμε τα σαγματικά σημεία μιας συνάρτησης από τα σημεία όπου αυτή παίρνει τοπικές ακρότατες τιμές.

Παράδειγμα: Θεωρούμε την συνάρτηση f(x,y)=4/3x³+4xy²-4x²-4y²+1.

Στην γραφική παράσταση τα σημεία της επιφάνειας Α1, Α2, Α3, Α4 είναι τα σημεία (0,0,1), (2,0,-13/3), (1,-1,-5/3) και (1,1,-5/3). Το Α1 προκύπτει από την τομή της επιφάνειας με τον z-άξονα, τα Α2, Α3, Α4 από την τομή των   κόκκινων κατακόρυφων ευθειών με την επιφάνεια. Οι κατακόρυφες ευθείες τέμνουν το xy-επίπεδο στα σημεία (2,0), (1,-1), (1,1).



Οι πρώτες μερικές παράγωγοι θα είναι:
             f_x(x,y)=4x²+4y²-8x                f_y(x,y)=8xy-8y
Στα σημεία (0,0) , (2,0) , (1,-1) , (1,1) μηδενίζονται και οι δύο μερικές παράγωγοι της f.
Τώρα χρησιμοποιώντας το προηγούμενο θεώρημα θα προσπαθήσουμε να χαρακτηρίσουμε τα παραπάνω τέσσερα ελεύθερα στάσιμα σημεία της f.
Έχουμε ότι
f_xx(x,y)=8x-8 , f_yy(x,y)=8x-8 , f_xy(x,y)=8y
Άρα            Δ=(8y)²-(8x-8)(8x-8)=64[y²-(x-1)²]
(0,0)  : Δ=-64<0 και Α=-8<0 ΤΟΠΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ
(2,0)  : Δ=-64<0 και Α=8 >0 ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ
(1,-1) : Δ=64 >0 ΣΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ
(1,1)  : Δ=64 >0 ΣΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ

6.12: Ακρότατα σημεία υπό περιορισμό. Πολλαπλασιαστές Lagrange.
     Έστω f η συνάρτηση δύο μεταβλητών με τύπο z=f(x,y). Συχνά θέλουμε να συγκρίνουμε μεταξύ τους, τις τιμές της f όχι σε μια ολόκληρη περιοχή αλλά μόνο στα σημεία μιας καμπύλης στο xy-επίπεδο. Θεωρούμε δηλαδή ότι τα x,y δεν είναι ανεξάρτητα αλλά υπόκεινται σε κάποιο περιορισμό, ειδικώτερα ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής g(x,y)=c. Σ'αυτήν την περίπτωση, η f είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής.
      Τα τοπικά ακρότατα σημεία της f, που υπόκεινται σ'ένα τέτοιο περιορισμό, τα ονομάζουμε τοπικά ακρότατα υπό περιορισμό και για τον εντοπισμό τους, εργαζόμεθα ως εξής :

Παράδειγμα
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x,y) = x²-xy με τον περιορισμό g(x,y) = x-2y = 1.
Για την αναζήτηση των τοπικών ακροτάτων υπό περιορισμό της f έχουμε τα εξής:
Αντικαθιστώντας x = 1+2y στην f, βρίσκουμε
f = f(x(y),y) = (1+2y)²-(1+2y)y = 2y²+3y+1
Οπότε
f΄(y) = 4y+3 = 0 y = -3/4.
Άρα στο σημείο (-2/4 , -3/4) ενδέχεται η f να παρουσιάζει τοπική ακρότατη τιμή σε σχέση με τις τιμές στα σημεία (x,y) που ικανοποιούν επίσης την συνθήκη x-2y = 1.

Η παράμετρος λ στο Θεώρημα 6.4 ονομάζεται πολλαπλασιαστής Lagrange, ενώ η μέθοδος αναζήτησης τοπικών ακρότατων υπό περιορισμό χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα, ονομάζεται ΜΕΘΟΔΟΣ LAGRANGE.
Παρατήρηση Θα πρέπει να τονίσουμε, ότι ενδέχεται η f να παίρνει τοπική ακρότατη τιμή υπό περιορισμό σ'ένα σημείο (x_o,y_o) για το οποίο ισχύει g_x(x_o,y_o)=g_y(x_o,y_o)=0. Σ'αυτήν την περίπτωση η μέθοδος Lagrange αποτυγχάνει να εντοπίσει αυτό το σημείο.
Παράδειγμα: Θεωρούμε την συνάρτηση f(x,y)=2x+y με τον περιορισμό g(x,y)=x-y²=2. Για την αναζήτηση των τοπικών ακρότατων υπό περιορισμό της f έχουμε τα εξής:

 
1. Ελεύθερα στάσιμα

2. Δεσμευμένα στάσιμα
Εδώ πρέπει να εξετάσουμε χωριστά τις τρεις καμπύλες του συνόρου.

Το Δ ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
3. Κορυφές Α , Β , Γ       Α(0,0) , Β(1,0) , Γ(0,2).
Ανακεφαλαιώνοντας έχουμε τα σημεία :
Α(0,0)        ,    Β(1,0)         ,  Γ(0,2)        ,   Δ(4/5 , 2/5)            με τιμές

  f(0,0) = 0  ,      f(1,0) = 1 ,     f(0,2) = 4 ,   f(4/5 , 2/5) = 4/5

Από το Θεώρημα 6.6 , οι ολικές ακρότατες τιμές θα πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ αυτών των αριθμών.
Άρα η μέγιστη τιμή είναι 4 και παρατηρείται στο σημείο Γ(0,2), ενώ η ελάχιστη είναι 0 και παρατηρείται στο σημείο Α(0,0) .
    Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφική παράσταση της z=f(x,y) = x²+y²,το xy-επίπεδο και η τριγωνική περιοχή εντός της οποίας τα x,y λαμβάνουν τιμές. Για να βρούμε το τμήμα της επιφάνειας z=f(x,y) = x²+y² που μας ενδιαφέρει θα πρέπει να φέρουμε τρία κατακόρυφα επίπεδα, με ίχνη στο xy-επίπεδο την τριγωνική περιοχή, και το τμήμα που αποκόπτουν από την z=f(x,y) = x²+y² είναι το προς εξέταση για τα ολικά ακρότατα.



   
Στο παραπάνω σχήμα είναι το xy-επίπεδο,οι εξισώσεις των ευθείων του επιπέδου που καθορίζουν την τριγωνική περιοχή και τα τρία κατακόρυφα επίπεδα με τις εξισώσεις τους γραμμένες αντιστοίχως επάνω. Τα τρία επίπεδα σχηματίζουν ένα ορθό πρίσμα με βάση την τριγωνική περιοχή.



Εδώ απεικονίζονται τα δύο από τα τρία επίπεδα (όχι το 2x-y-2=0 διότι θα κάλυπτε το τμήμα της επιφάνειας που ενδιαφέρει). Επάνω στην επιφάνεια με την παχύτερη γραμμή είναι οι τρεις τομές των επιπέδων.



 Στο διπλανό σχήμα δεν υπάρχουν τα επίπεδα και έχει τονισθεί η περιοχή που ενδιαφέρει. Οι τρεις τρισδιάστατες καμπύλες, ως το σύνορο, συμπεριλαμβάνονται στο υπό εξέταση τμήμα της επιφάνειας. Οι εξισώσεις  τους έχουν ως εξής:


Η καμπύλη ´ô προκύπτει από την τομή της z=f(x,y) = x²+y² και του επιπέδου 2x-y-2=0.
Η καμπύλη OΒ΄ προκύπτει από την τομή της z=f(x,y) = x²+y² και του επιπέδου y=0.
Η καμπύλη ΟΓ΄ προκύπτει από την τομή της z=f(x,y) = x²+y² και του επιπέδου x=0.
Ασκήσεις