a) f(x,y)=e-x+y2 b) f(x,y)=ln(x2+y2) c) f(x,y)=x2-xy d) f(x,y)=y/x e) f(x,y)=4x2+y2-x+y.
Απάντηση
2. Να βρεθούν οι καμπύλες που προκύπτουν από την τομή των παρακάτω επιφανειών με τα επίπεδα συντεταγμένων :
a) z=2x2+y2+1 b) z=x2-y c) z+x+y2=1.
Απάντηση
3. Να δοθεί το δένδρο εξάρτησης και να επαληθευθούν οι κανόνες αλυσωτής παραγώγισης στις παρακάτω περιπτώσεις : Δένδρο εξάρτησης
Απάντησηa) w=xy , x=t , y=sint b) w=xy , x=s+t , y=s-t c) z=x+y2 , y=lnx d) z=x2 , x=s+4t
4. Για την συνάρτηση f(x,y)=4x2y να βρεθούν στο σημείο (-1 , 1) οι κατευθύνσεις προς τις οποίες η τιμή της f(x,y) : Παράγωγος κατά κατεύθυνση Διάνυσμα κλίσης
α) Αυξάνει με το γρηγορώτερο ρυθμό
β) Ελαττώνεται με το γρηγορώτερο ρυθμό
γ) Παραμένει αμετάβλητη.
Απάντηση
5. Η παράγωγος της συνάρτησης f(x,y) στο σημείο Α(2,4) προς την κατεύθυνση του διανύσματος
+
είναι 
και προς την κατεύθυνση του διανύσματος -3 είναι 4. Ποιά είναι η παράγωγος της f στην κατεύθυνση του διανύσματος 3-4; Παράγωγος κατά κατεύθυνση Διάνυσμα κλίσηςΑπάντηση
6. Να βρεθούν και να χαρακτηρισθούν τα τοπικά ακρότατα σημεία της f(x,y)=x4+y4-8xy. Τοπικά ακρότατα
Απάντηση
7. Να βρεθούν τα δεσμευμένα στάσιμα σημεία της συνάρτησης f(x,y)=1+x2+y2 με τον περιορισμό ότι τα (x,y) ικανοποιούν την εξίσωση
Ακρότατα σημεία υπό περιορισμό
Απάντηση
8. Να βρεθούν τα δεσμευμένα στάσιμα σημεία της συνάρτησης f(x,y)=xy με τον περιορισμό x2/4+y2/2=1. Ακρότατα σημεία υπό περιορισμό
Απάντηση
9. Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων στις αντίστοιχες περιοχές : Ολικά ακρότατα
Απάντησηα) z=x3+y3-9xy+23 , 0 < x < 4 , 0 < y < 4 b) z=3+x3-x2-y2 , x2+y2 < 1 , x > 0.