Θεώρημα 4.13 (Κανόνας του Cramer)

Έστω γραμμικό σύστημα Α = ν εξισώσεων με ν μεταβλητές. Εάν |Α| 0, το σύστημα αυτό έχει μια και μοναδική λύση. Αυτή είναι η εξής: όπου Αi ο πίνακας που προκύπτει από τον Α, εάν αντικαταστήσουμε την i-στήλη του Α με την στήλη

Απόδειξη :
Επειδή |Α| 0, από το Θεώρημα 4.11, ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος και το σύστημα Α = έχει μια και μοναδική λύση. Αυτή είναι η = Α^-1      σχέση (4.3) επειδή Α = Α^-1(Α) = Α^-1 = Α^-1 Τώρα χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 4.12 η σχέση (4.3) γράφεται ως εξής : όπου Α_ij είναι ο συμπαράγοντας του στοιχείου a_ij του πίνακα Α = [a_ij].
Άρα εάν Όμως |Α_i| = Α_1ib₁ + Α_2ib₂ + . . . + Α_νib_ν διότι Επομένως από την σχέση (4.4) έχουμε

---