5. Κωνικές τομές

5.1.1 Παραβολή
Έστω δοσμένο σημείο F στο επίπεδο και έστω δοσμένη ευθεία d , επίσης στο επίπεδο. Παραβολή ονομάζουμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων P(x,y) , τα οποία ισαπέχουν από το F και την d.

Εστία παραβολής : Το σημείο F .
Διευθετούσα ευθεία παραβολής : Η ευθεία d .
Άξονας παραβολής : Η ευθεία που διέρχεται από το F και είναι κάθετη στην d .
Κορυφή παραβολής : Το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονά της .

5.1.2 Έλλειψη
Έστω δοσμένα σημεία F₁ , F₂ στο επίπεδο και έστω αριθμός m , ο οποίος είναι μεγαλύτερος από την απόσταση μεταξύ των F₁ και F₂ .Έλλειψη ονομάζουμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων P(x,y) , των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα σημεία F₁ και F₂ είναι σταθερό και ισούται με m , δηλαδή έχουμε d(P,F₁)+d(P,F₂)=m .

Εστίες έλλειψης : Τα σημεία F₁ , F₂.
Κέντρο έλλειψης : Το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος F₁F₂ .
Μεγάλος άξονας έλλειψης : Το ευθύγραμμο τμήμα   Α₁Α₂ . (Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι |Α₁Α₂|=m)
Μικρός άξονας έλλειψης: Το ευθύγραμμο τμήμα Β₁Β₂ .
Κορυφές έλλειψης : Τα 4 σημεία στα οποία η έλλειψη τέμνει τους αξονές της , δηλαδή τα Α₁ , Α₂ , Β₁ , Β₂ . 5.1.3 Υπερβολή
Έστω δοσμένα σημεία F₁ , F₂ στο επίπεδο και έστω αριθμός m , ο οποίος είναι μικρότερος από την απόσταση μεταξύ των F₁ και F₂ . Υπερβολή ονομάζουμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων P(x,y) , των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων του από τα F₁ και F₂ είναι σταθερή και ισούται με m , δηλαδή έχουμε ότι |d(P,F₁)-d(P,F₂)|=m .

Εστίες υπερβολής : Τα σημεία F₁ , F₂.
Άξονας υπερβολής : Το ευθύγραμμο τμήμα F₁F₂ .
Κέντρο υπερβολής : Το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος F₁F₂ .
Κορυφές υπερβολής : Τα 2 σημεία στα οποία η υπερβολή τέμνει τον άξονά της , δηλαδή τα Α₁,Α₂ .5.2

Αλγεβρική περιγραφή κωνικών τομών

H αλγεβρική περιγραφή μιας κωνικής τομής , μέσω μιας καρτεσιανής εξίσωσης , εξαρτάται φυσικά από την θέση που θα έχει αυτή ως προς το σύστημα των καρτεσιανών συντεταγμένων .
Γενικά μια κωνική τομή περιγράφεται από μια εξίσωση του τύπου:

Εδώ θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει πάντοτε . Δηλαδή υπάρχουν εξισώσεις του τύπου (5.1) που δεν περιγράφουν κωνικές τομές.
π.χ. οι εξισώσεις x²+y²+25=0 , 2x+3y+10=0 , 6x²-8xy+2y²-7x+y-3=0.

5.2.1 Εξισώσεις κωνικών τομών που βρίσκονται σε όρθια θέση
Στον παρακάτω πίνακα θεωρούμε τις κωνικές τομές σε μια συγκεκριμένη κατηγορία θέσεων ως προς το σύστημα των καρτεσιανών συντεταγμένων και σε κάθε περίπτωση γίνεται αναφορά στην εξίσωση που περιγράφει αυτές.

Παρατήρηση: Οι ευθείες που εικονίζονται στα δύο τελευταία σχήματα (Σχ.5.11 , Σχ.5.12) ονομάζονται ασύμπτωτες ευθείες της υπερβολής.
Στην συνέχεια έχουμε έναν δεύτερο πίνακα , στον οποίο θεωρούμε τις κωνικές τομές σε μια διαφορετική κατηγορία θέσεων.

Τώρα χρησιμοποιώντας τα στοιχεία που αναφέρονται στον Πίνακα 5.1 και στην μέθοδο της παράλληλης μετατόπισης των αξόνων θα επιχειρήσουμε να προσδιορίσουμε τις εξισώσεις των κωνικών τομών που εικονίζονται στον Πίνακα 5.2

Ας ξεκινήσουμε με τον προσδιορισμό της εξίσωσης της παραβολής που απεικονίζεται στο Σχ.5.13


Εδώ θελουμε να προσδιορίσουμε την εξίσωση της παραβολής ως προς το Oxy . Για τον σκοπό αυτόν θεωρούμε ένα νέο σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων το Ο'x'y' , του οποίου η αρχή ταυτίζεται με την κορυφή της παραβολής και οι άξονές του είναι παράλληλοι και ομόρροποι με τους αντίστοιχους του Oxy (Βλέπε Σχ.5.21) . Σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε στον Πίνακα 5.1 η εξίσωση της παραβολής του Σχ.5.22 , ως προς το Ο'x'y' , θα έχει την μορφή x'²=4cy' , όπου c>0. Άρα χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (5.2) παίρνουμε την εξίσωση (x-h)²=4c(y-h) , η οποία περιγράφει την παραβολή  ως προς τις "παληές συντεταγμένες" δηλαδή περιγράφει την παραβολή ως προς το σύστημα Oxy.
Ο αναγνώστης αυτών των σημειώσεων   χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία μπορεί να βρεί τις εξισώσεις και των υπολοίπων κωνικών τομών που απεικονίζονται στα Σχ. 5.14-Σχ. 5.20.

Συγκεκριμένα έχουμε:
Για την κωνική τομή του Σχ. 5.13   (x-h)²=4c(y-k) όπου c>0
Για την κωνική τομή του Σχ. 5.14   (x-h)²=4c(y-k) όπου c<0
Για την κωνική τομή του Σχ. 5.15   (y-k)²=4c(x-h) όπου c>0
Για την κωνική τομή του Σχ. 5.16   (y-k)²=4c(x-h) όπου c<0
Για την κωνική τομή του Σχ. 5.17   (x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1
Για την κωνική τομή του Σχ. 5.18   (x-h)²/b²+(y-k)²/a²=1
Για την κωνική τομή του Σχ. 5.19   (x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1
Για την κωνική τομή του Σχ. 5.20   (y-k)²/a²-(x-h)²/b²=1

Ερωτήσεις
1)Ποιές είναι οι συντεταγμένες των εστιών των παραβολών στα Σχ. 5.13 - Σχ. 5.16;
Απάντηση

2)Ποιές είναι οι συντεταγμένες των εστιών και κορυφών των κωνικών τομών στα Σχ. 5.17 - Σχ. 5.20;
Απάντηση

Εάν μια κωνική τομή εμφανίζεται σε μια από τις θέσεις που αναφέρονται στους Πίνακες 5.1 και 5.2 θα λέμε ότι βρίσκεται σε ΟΡΘΙΑ ΘΕΣΗ.
Όπως παρατηρούμε στα προηγούμενα κάθε κωνική τομή που βρίσκεται σε όρθια θέση περιγράφεται από μια εξίσωση του τύπου:

Επίσης προκύπτουν τα εξής κριτήρια για τον χαρακτηρισμό των όρθιων κωνικών τομών :

5.2.2 Κωνικές τομές που δεν βρίσκονται σε όρθια θέση
Έστω η εξίσωση :

η οποία περιγράφει κωνική τομή.
Αυτό σημαίνει ότι η κωνική τομή δεν βρίσκεται σε όρθια θέση , ως προς το σύστημα των καρτεσιανών συντεταγμένων δηλαδή δεν βρίσκεται σε μια από τις θέσεις που αναφέρονται στους Πιν. 5.1 και Πιν. 5.2 .
Εάν το σύστημα των καρτεσιανών , στο οποίο αναφέρεται η (5.4), είναι το Oxy, διατηρώντας τον πόλο του σταθερό , το περιστρέφουμε κατά γωνία θ οπότε προκύπτει ένα νέο σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων , έστω το Ox'y'.

Τώρα εάν
                   (1)    α=γ    και   θ=

ή                (2)    αγ   και   θ=
μπορεί να αποδειχθεί ότι η κωνική τομή (5.4) θα περιγράφεται ως προς το νέο σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων , το Ox'y' , από μια εξίσωση του τύπου

όπου 4αγ-β²=4α'γ'    και α+γ=α'+γ'
Δηλαδή ως προς το Ox'y' η κωνική τομή θα βρίσκεται σε όρθια θέση (λόγω απουσίας του όρου x'y' )
Χρησιμοποιώντας ακριβώς αυτό το στοιχείο και τα κριτήρια που αναπτύξαμε στο 5.21, για τον χαρακτηρισμό κωνικών τομών που είναι σε όρθια θέση , συμπεραίνουμε τα εξής:

Ασκήσεις