ΑΠΑΝΤ ΑΣΚ ΚΕΦ5

Απαντήσεις ασκήσεων 5ου Κεφαλαίου

1)Να βρεθεί η εξίσωση των παρακάτω κωνικών τομών:
(a) Έλλειψη με κέντρο στο (- 2 ,3) , μεγάλο άξονα παράλληλο προς τον y-άξονα μήκους 10 και μήκος μικρού άξονα 6.
(b) Παραβολή με εστία στο (4,3) και διευθετούσα ευθεία την y+1=0.
(c) Υπερβολή με κέντρο στο (1,1) εστία στο (6,1) και κορυφή στο (4,1).

Απαντήσεις
1(a)

Εφ'όσον ο μεγάλος άξονας της έλλειψης είναι παράλληλος προς τον y-άξονα τότε η εξίσωση της έλλειψης θα είναι της μορφής 5.18 και είναι η .

1(b)

Η παραβολή που περιγράφεται από τα δοθέντα στοιχεία έχει τον άξονά της παράλληλο προς τον y-άξονα , οπότε έχει το σχήμα που αντιστοιχεί στην εξίσωση της μορφής 5.13 , όπως φαίνεται από την διάταξη της εστίας F(4,3), της κορυφής K(4,1) και της διευθετούσης y+1=0, η ζητούμενη εξίσωση έχει c>0 και είναι (x-4)²=4(2)(y-1).

1(c)
Η υπερβολή που περιγράφεται από τα δοθέντα στοιχεία έχει τις εστίες της F₁(-4,1) & F₂(6,1), τις κορυφές της A₁(-2,1) & A₂(4,1) και το κέντρο της K(1,1)   σε μια ευθεία την y=1 παράλληλη προς τον x-άξονα. Οπότε η εξίσωσή της θα είναι της μορφής 5.19 και είναι

2) Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω κωνικές τομές και να δοθεί η γραφική τους παράσταση:
(a) 4x²+9y²-40x+36y+100=0 , (b) 9x²-16y²-54x-64y-127=0 , (c)32x²+52xy-7y²+180=0 ,   (d) xy=-2    , (e) 3x²+10xy+3y²-2x-14y-13=0 , (f) 9x²-24xy+16y²-20x+110y=50.

Απαντήσεις
2(a)
Η εξίσωση 4x²+9y²-40x+36y+100=0 δεν έχει τον όρο xy και έχοντας αγ=(4)(9)=36>0 περιγράφει έλλειψη (σε ειδική περίπτωση περιγράφει ή ένα σημείο ή κανένα γεωμετρικό σχήμα). Με παράλληλη μετατόπιση αξόνων, στο σημείο Ο'(5,-2) , η εξίσωση πέρνει την μορφή x'^²/9+y'²/4=1. Η τελευταία εξίσωση περιγράφει έλλειψη με κέντρο τη νέα αρχή των αξόνων Ο' και μήκος μεγάλου της άξονα 6 και μικρού 4.

2(b)
Η δοθείσα εξίσωση 9x²-16y²-54x-64y-127=0 δεν έχει τον όρο xy και έχει αγ=(9)(-16)=-144<0 οπότε περιγράφει υπερβολή (ή σε ειδική περίπτωση ένα ζεύγος τεμνομένων ευθειών). Με παράλληλη μετατόπιση των αξόνων, στο σημείο Ο'(3,-2) , η εξίσωση πέρνει την μορφή x'^²/16-y'²/9=1. Η τελευταία εξίσωση περιγράφει υπερβολή με κέντρο την αρχή Ο' των νέων αξόνων και κορυφές τα σημεία (-4,0) και (4,0) στο νέο σύστημα αξόνων. Οι εξισώσεις των ασυμπτώτων (3x-4y-17=0 , 3x+4y-1=0) στο σχήμα αναφέρονται στο αρχικό σύστημα αξόνων.

2(c)

Στην εξίσωση 32x²+52xy-7y²+180=0 είναι 4αγ-β²= -3600<0 οπότε πρόκειται περί υπερβολής (ή σε ειδική περίπτωση ένα ζεύγος τεμνομένων ευθειών). Καθώς περιέχει τον όρο xy για τη απαλοιφή του χρειάζεται περιστροφή αξόνων.
Εδώ έχουμε tan2θ=4/3 ή tanθ=1/2 δηλ. sinθ= , cosθ= και με περιστροφή των αξόνων κατά γωνία θ , και βάσει των σχέσεων 5.5 , η εξίσωση γίνεται . Η τελευταία εξίσωση περιγράφει υπερβολή με κέντρο την αρχή των αξόνων και με κορυφές -εστίες στο νέο σύστημα αξόνων τα σημεία:

2(d)
Η εξίσωση xy=-2 έχει τον όρο xy και 4αγ-β²=-1<0 οπότε περιγράφει υπερβολή . Εδώ είναι θ=π/4 και με περιστροφή των αξόνων , βάσει των σχέσεων (5.5) ,η εξίσωση πέρνει την μορφή . Η τελευταία εξίσωση περιγράφει υπερβολή με κέντρο την αρχή των αξόνων και άξονα της τον Ο'y'. Οι κορυφές της στο νέο σύστημα αξόνων είναι Κ₁(0,2) και Κ₂(0,-2).Οι ευθείες του αρχικού συστήματος αξόνων yOx είναι οι ασύμπτωτες αυτής της υπερβολής.

2(e)
Η δοθείσα εξίσωση 3x²+10xy+3y²-2x-14y-13=0 περιέχει τον όρο xy και είναι 4αγ-β²=-64<0 οπότε περιγράφει μια υπερβολή (ή σε ειδική περίπτωση ένα ζεύγος τεμνομένων ευθειών).
Πρώτα με παράλληλη μετατόπιση των αξόνων στο σημείο (2,-1) βάσει των σχέσεων (5.2) έχουμε την εξίσωση 3x²+10xy+3y²-8=0 και με περιστροφή των αξόνων που προέκυψαν κατά γωνία θ=π/4 βάσει των σχέσεων (5.5) έχουμε την τελική εξίσωση Χ²-Υ²/4=1ως προς το σύστημα YOX. Η τελευταία εξίσωση περιγράφει υπερβολή με κέντρο , εστίες , κορυφές επάνω στον άξονα ΟΧ . Οι εξισώσεις των ασυμπτώτων ως προς το αρχικό σύστημα αξόνων είναι { 3x+y-5=0 , x+3y+1=0 }.

2(f)
Ηδοθείσα εξίσωση 9x²-24xy+16y²-20x+110y=50 έχει 4αγ-β²=0 οπότε περιγράφει παραβολή (σε ειδική περίπτωση ένα ζεύγος παραλλήλων ευθείων που συμπίπτουν ή δεν συμπίπτουν ή κανένα γεωμετρικό σχήμα). Στην περίπτωση της παραβολής πρώτα περιστρέφουμε τους άξονες και στη συνέχεια τους μεταφέρουμε παράλληλα. Εδώ από την σχέση tan2θ=β/(α-γ)=24/7 βρίσκουμε ότι cosθ=4/5 , sinθ=3/5 και βάσει των σχέσεων (5.5) αντικαθιστόντας στην αρχική έχουμε την εξίσωση (ψ+2)²=-2(χ-3) ως προς το σύστημα αξόνων ψΟχ .Τώρα παράλληλη μεταφορά των αξόνων δίνει την εξίσωση Y²=-2X ως προς το σύστημα αξόνων ΥΟΧ. Η τελευταία περιγράφει παραβολή με κορυφή την αρχή Ο των αξόνων και άξονά της τον ΟΧ . Η κορυφή της ως προς τους αρχικούς άξονες είναι (3.6 , 0.2). Εξίσωση της διευθετούσας d ως προς τους αρχικούς είναι η 8x+6y=35 και η εστία F έχει συντεταγμένες (3.2 , -0.2).

3) Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει την x+y-2=0 διευθετούσα ευθεία της και της οποίας η εστία ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων.
Απάντηση

Από τα δεδομένα του προβλήματος και το Σχ.1 έχουμε ότι η ζητούμενη παραβολή θα έχει ως εστία το σημείο F που είναι συγχρόνως και η αρχή των αξόνων ως προς τους οποίους ζητείται η εξίσωση της παραβολής και κορυφή το σημείο Κ , το μέσον της απόστασης της εστίας F από την διευθετούσα . Η ευθεία y=x περνά από την εστία και είναι κάθετη στην x+y-2=0 (d) που είναι η διευθετούσα της παραβολής. Έτσι βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Κ ότι είναι (1/2,1/2) και την απόσταση του Κ από την εστία F ότι είναι .
Από το Σχ.2 και τα δεδομένα η εξίσωση της παραβολής ως προς το σύστημα yKx θεωρουμένη θα είναι y²=-4x. Περιστροφή των αξόνων κατά γωνία θ=-π/4 (Σχ.3)δίνει την εξίσωση: (-x+y)²+4(x+y)=0. Τώρα με παράλληλη μετατόπιση του συστήματος y K x ώστε να έχει την αρχή του στο σημείο F που οι συντεταγμένες του ως πρός το σύστημα y K x είναι (-1/2,-1/2) θα δώσει την τελική εξίσωση ως προς το σύστημα y Fx που είναι 1/2(-x+y)²+2(x+y-1)=0 και απεικονίζεται γραφικά στο Σχ.4

4) Να βρεθούν οι εξισώσεις των ελλείψεων και υπερβολών που έχουν το κέντρο τους στην αρχή των αξόνων και τον έναν άξονα στην ευθεία x=y.
Απάντηση

Παίρνουμε ως σύστημα αξόνων x^Oy^ το ταυτιζόμενο με τους άξονες της έλλειψης , τότε θα έχουμε ως εξίσωση της:   . Ο άξονας Οx^έχοντας εξίσωση y=x ως προς το σύστημα αξόνων xOy σχηματίζει γωνία με τον άξονα Ox ίση με που είναι η γωνία κατά την οποία θα πρέπει να περιστραφεί ο άξονας Ox για να συμπέσει με τον άξονα Οx , οπότε βάσει των σχέσεων (5.5) περιστροφής των αξόνων αντικαθιστώντας στην εξίσωση της έλλειψης έχουμε   την που είναι και η μορφή της εξίσωσης των ελλείψεων με τον ένα άξονα επάνω στην ευθεία y=x .
Εάν ήταν ο άλλος άξονας επάνω στην ευθεία x=y τότε η γωνία είναι π/4 και η εξίσωση των ελλείψεων είναι .
Αντιστοίχως για τις υπερβολές θα έχουμε από την εξίσωση τα σχήματα

με αντίστοιχες εξισώσεις
,

5) Να βρεθούν οι εξισώσεις των παραβολών που έχουν την κορυφή τους στο σημείο (1,-2) και άξονα παράλληλο προς την ευθεία y=x.
Απάντηση

Οι περιγραφόμενες παραβολές δίνονται από την εξίσωση x=a (y)² , όπου το a είναι πραγματικός αριθμός , ως σύστημα συντεταγμένων έχουμε το yOx* , όπου Ox είναι ο άξονας των παραβολών και Oy είναι η ευθεία που διέρχεται από την κορυφή (1,-2) των παραβολών και είναι κάθετος στον Ox. Ο άξονας Ox έχει εξίσωση y=x-3 ως προς το σύστημα yOx και για να γίνει παράλληλος προς τον άξονα Ox θα πρέπει να στραφεί κατά γωνία -π/4 . Βάσει των σχέσεων (5.5) έχουμε μετά την περιστροφή την εξίσωση (X+Y)/=a/2(-X+Y)²ως προς το σύστημα συντεταγμένων YOX που είναι παράλληλο προς το yOx και η αρχή Ο ταυτίζεται με την Ο*. Με παράλληλη μεταφορά του YOX (X=x-1,Y=y+2) στο O έχουμε την εξίσωση (1+x+y)/=a/2(3-x+y)² που είναι και η ζητούμενη.