2. Διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο

Η θεωρία των διανυσμάτων που αναπτύξαμε στο Κεφ.1 γενικεύεται στη θεωρία διανυσμάτων στον τρισδιάστατο χώρο.

2.1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο
2.1.1 Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα.
Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση. Με άλλα λόγια θα θεωρούμε ένα διάνυσμα αμετάβλητο όταν κινείται παράλληλα προς τον εαυτόν του.
2.1.2 Αλγεβρική περιγραφή: Ένα διάνυσμα στον χώρο περιγράφεται σαν μια διατεταγμένη 3-άδα (α,β,γ), όπου (α,β,γ) το σημείο που αποτελεί το πέρας του εάν θεωρήσουμε ότι η αρχή του ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων.

2.2 Mέτρο διανύσματος:
       Το μέτρο ενός διανύσματος =(α,β,γ) συμβολίζεται με ||, ισούται με και εκφράζει το μήκος του προσανατολισμένου ευθυγράμμου τμήματος που περιγράφει το .

2.3 Κατευθύνοντα συνημίτονα
Έστω διάνυσμα=(α,β,γ). Θεωρούμε τα συνημίτονα των γωνιών θ,φ,ψ που σχηματίζει το με τους θετικούς ημιάξονες Οx,Oy,Oz του συστήματος αντίστοιχα. Και έχουμε:

Τα συνημίτονα αυτά ονομάζονται κατευθύνοντα συνημίτονα του . Ενώ οι γωνίες θ,φ,ψ γωνίες κατεύθυνσης του .
2.4 Πράξεις
2.4.1 Πρόσθεση
         Εάν =(α,β,γ), =(α΄,β΄,γ΄)
          τότε +=(α+α΄,β+β΄,γ+γ΄)

       Γεωμετρική  ερμηνεία πρόσθεσης
Γεωμετρικά το άθροισμα των και δίνεται από την διαγώνιο του παραλληλογράμμου που έχει ως προσκείμενες πλευρές του τα δύο διανύσματα και με την ίδια αρχή.

Εναλλακτικά μπορούμε να τοποθετήσουμε το ένα διάνυσμα σαν συνέχεια του άλλου, οπότε το άθροισμα βρίσκεται ενώνοντας την αρχή του πρώτου με το πέρας του δευτέρου.


2.4.2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό.
Εάν =(α,β,γ)   και λεR,
τότε λ=(λα,λβ,λγ)

Γεωμετρική ερμηνεία πολλαπλασιασμού.
Το διάνυσμα λ θα έχει την ίδια κατεύθυνση με το ^. εάν το λ>0, ενώ θα έχει αντίθετη κατεύθυνση εάν λ<0.
Επίσης θα έχουμε ότι |λ|=|λ|||.
2.4.3 Αφαίρεση
Εάν =(α,β,γ)   και =(α΄,β΄,γ΄) τότε
-=+(-)=(α,β,γ)+(-α΄,-β΄,-γ΄)=(α-α΄,β-β΄,γ-γ΄).
2.4.4 Εσωτερικό γινόμενο
Έστω μη-μηδενικά διανύσματα =(α,β,γ),=(α΄,β΄,γ΄).
Το εσωτερικό γινόμενο συμβολίζεται με ^. και ορίζεται ως εξής:
                     ^.=αα΄+ββ΄+γγ΄.
         Γεωμετρική ερμηνεία εσωτερικού γινομένου.
^.=|| ||cosφ, όπου φ η γωνία των και, 0<φ<π.

Παρατήρηση: ^.=0<=>φ=π/2
                        ^.>0<=>0<φ<π/2
                        ^.<0<=>π/2<φ<π.

2.5 Μοναδιαία διανύσματα.
Διανύσματα που έχουν μέτρο 1.
Συνήθως συμβολίζονται με ,,...
Παρατήρηση: Εάν =(α,β,γ) μη-μηδενικό διάνυσμα ,το διάνυσμα

είναι μοναδιαίο και έχει την ίδια κατεύθυνση με το .
(Τα cosθ,cosφ,cosψ είναι τα κατευθύνοντα συνημίτονα του ).
2.6 Βασικά διανύσματα.
Είναι τα =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1). Τα ,, είναι μοναδιαία διανύσματα που έχουν την κατεύθυνση των αξόνων. Για κάθε διάνυσμα =(α,β,γ) παρατηρούμε ότι
          =(α,β,γ)=α(1,0,0)+β(0,1,0)+γ(0,0,1)=α+β+γ
2.7 Προβολή
Αν μη-μηδενικό διάνυσμα , τότε για κάθε διάνυσμα ορίζουμε την προβολή του πάνω στην κατεύθυνση του ως το μέγεθος
=||cosφ , όπου φ η γωνία των , , 0 < φ < π
Σημειωτέον ότι η προβολή είναι προσημασμένη , και είναι θετική ή αρνητική αν η γωνία είναι οξεία ή αμβλεία αντίστοιχα.

 

Παρατήρηση : .
2.8 Παράλληλα διανύσματα.
Έστω μη-μηδενικό διάνυσμα . Το διάνυσμα , λέμε ότι είναι παράλληλο προς το εάν υπάρχει λ έτσι ώστε = λ.
Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική ερμηνεία της πράξης του πολλαπλασιασμού με αριθμό , παρατηρούμε ότι: Δύο παράλληλα διανύσματα τοποθετημένα με την ίδια αρχή βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Για το λόγο αυτό δύο παράλληλα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά.
2.9 Συνεπίπεδα διανύσματα.

Δύο μη-συγγραμμικά διανύσματα , τοποθετημένα με την ίδια αρχή ορίζουν ένα επίπεδο. Ένα τρίτο διάνυσμα είναι συνεπίπεδο με αυτά αν τοποθετημένο με την ίδια αρχή βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο.
Ένα διάνυσμα =(r₁,r₂,r₃) είναι συνεπίπεδο με τα μη-συγγραμμικά διανύσματα =(p₁,p₂,p₃) και =(q₁,q₂,q₃) αν ισχύει μια από τις παρακάτω ισοδύναμες συνθήκες:

(a): Μπορεί να εκφρασθεί σαν γραμμικός συνδυασμός τους, δηλαδή μπορεί να εκφρασθεί στην μορφή: =λ+μ για κάποια λ,μ.
(b):
Δηλαδή μηδενίζεται η ορίζουσα των συντεταγμένων των τριών διανυσμάτων.