1.Διανύσματα στο επίπεδο

1.1 Περιγραφή διανυσμάτων.
1.1.1Γεωμετρική περιγραφή : Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα.
Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα εάν το ένα προκύπτει από το άλλο με παράλληλη μετατόπιση, δηλαδή δύο προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα θα θεωρούμε ότι περιγράφουν το ίδιο διάνυσμα εάν έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση.
1.1.2 Αλγεβρική περιγραφή : Ένα διάνυσμαπεριγράφεται σαν μια διατεταγμένη 2άδα (α , β) , όπου (α , β) είναι το σημείο που αποτελεί το πέρας του εάν θεωρήσουμε, ότι η αρχή ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων.

1.2 Μέτρο διανύσματος
Το μέτρο ενός διανύσματος =(α , β) συμβολίζεται με || , ισούται με και εκφράζει το μήκος του προσανατολισμένου ευθυγράμμου τμήματος που περιγράφει το .

1.3 Πράξεις

1.3.1 Πρόσθεση




Γεωμετρική ερμηνεία πρόσθεσης
Γεωμετρικά το άθροισμα των και δίνεται από την διαγώνιο του παραλληλογράμμου που έχει ως προσκείμενες πλευρές του τα δύο διανύσματα και με την ίδια αρχή.

Εναλλακτικά μπορούμε να τοποθετήσουμε το ένα διάνυσμα σαν συνέχεια του άλλου , οπότε το άθροισμα βρίσκεται ενώνοντας την αρχή του πρώτου με το πέρας του δευτέρου.

1.3.2 Πολλαπλασιασμός με αριθμό
Εάν =(α , β) και λεR τότε                      λ= (λα , λβ)

Γεωμετρική ερμηνεία πολλαπλασιασμού
Το διάνυσμα λ θα έχει την ίδια κατεύθυνση με το εάν λ>0 , ενώ θα έχει αντίθετη κατεύθυνση εάν λ<0.
Επίσης θα έχουμε ότι |λ|=|λ|| |.

1.3.3 Αφαίρεση

1.3.4 Εσωτερικό γινόμενο
Έστω μη-μηδενικά διανύσματα . Το εσωτερικό γινόμενο συμβολίζεται με ^. και ορίζεται ως εξής:
^. = αγ + βδ
Γεωμετρική ερμηνεία εσωτερικού γινομένου.
^.=| |^.||cosφ , όπου φ η γωνία των και ,   0 < φ <π
Παρατήρηση:
^. = 0 <=>φ=π/2
^. > 0 <=> 0 <φ<π/2
^. < 0 <=> π/2 <φ<π

1.4 Μοναδιαία διανύσματα

Διανύσματα που έχουν μέτρο 1.
Συνήθως συμβολίζονται με , , ...
Παρατήρηση : Εάν  =(α , β) μη μηδενικό διάνυσμα, το διάνυσμα


είναι μοναδιαίο και έχει την ίδια
κατεύθυνση με το .

1.5 Βασικά διανύσματα
Είναι τα =(1 , 0) και =(0 , 1).
Τα και είναι μοναδιαία διανύσματα που έχουν την κατεύθυνση των αξόνων.
Για κάθε διάνυσμα =(α , β) παρατηρούμε ότι:
=(α , β)=α(1 , 0)+β(0 , 1)= α+β

1.6 Προβολή
Αν μη-μηδενικό διάνυσμα , τότε για κάθε διάνυσμα ορίζουμε την προβολή του πάνω στην κατεύθυνση του ως το μέγεθος
=||cosφ , όπου φ η γωνία των , , 0 < φ < π
Σημειωτέον ότι η προβολή είναι προσημασμένη , και είναι θετική ή αρνητική αν η γωνία είναι οξεία ή αμβλεία αντίστοιχα.

 

Παρατήρηση : .

1.7 Παράλληλα διανύσματα.
Έστω μη-μηδενικό διάνυσμα . Το διάνυσμα , λέμε ότι είναι παράλληλο προς το εάν υπάρχει λ έτσι ώστε = λ.
Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική ερμηνεία της πράξης του πολλαπλασιασμού με αριθμό , παρατηρούμε ότι δύο παράλληλα διανύσματα τοποθετημένα με την ίδια αρχή βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Για το λόγο αυτό δύο παράλληλα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά. Ασκήσεις