συναρτήσει των
και
. (Πρόσθεση , Αφαίρεση )
i)
=
-
ii) = -
-
iii) =
-
.2) Να βρεθούν τα διανύσματα που έχουν μέτρο 10 και τα οποία είναι
παράλληλα προς το διάνυσμα : 3
+4
(Μέτρο διανύσματος , Παράλληλα διανύσματα)Έστω (x , y) ένα διάνυσμα με μέτρο =10 και // προς το δοθέν .
Τότε θα είναι: { x2 + y2 = 100 , x = 3λ , y=4λ }
η λύση του συστήματος δίνει λ=+2 ή τα διανύσματα (6 , 8) και ( -6 , -8).
3) Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒΓ όπου Α:(1 , 0) , Β:(1 , 1) , Γ:(-1 , 2)
Να βρεθούν : α) Τα μήκη των πλευρών του.
β) Η γωνία της κορυφής Α.
γ) Το ύψος από την κορυφή Γ.
(Μέτρο διανύσματος , Εσωτερικό γινόμενο )
α)Θεωρώντας τις πλευρές ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ ως διανύσματα έχουμε :
β)Η γωνία της κορυφής Α μπορεί να υπολογισθεί από το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων :
γ)Το ύψος μπορεί να θεωρηθεί ως η απόσταση του σημείου Γ(-1 ,2) από την ευθεία x=1 επί της οποίας βρίσκεται η ΑΒ. Ή ως η κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου ΑΔΓ με ΑΓ υποτείνουσα και ΑΔ η άλλη κάθετη πλευρά που είναι και η προβολή του διανύσματος
στο ΑΒ. Οπότε το μέτρο της ΑΔ θα
είναι |ΑΔ|=(-2 , 2)(0 , 1)=2 μια και το ΑΒ είναι μοναδιαίο
διάνυσμα και |ΓΔ|=2 από το Πυθαγόρειο θεώρημα.Ή το
απλούστερο, στην περίπτωση αυτή, το ΑΔΓ είναι
ορθογώνιο ισοσκελές άρα έχει κάθετες πλευρές
ίσες και επομένως αν το μήκος είναι x θα έχουμε
x2 + x2 = 8 ή x=2. 4) Να αποδειχθεί ότι : Το παραλληλόγραμμο που σχηματίζεται με προσκείμενες πλευρές δύο διανύσματα
=(α,β) ,
=(γ,δ) έχει εμβαδό
την απόλυτη τιμή της ορίζουσας των συντεταγμένων, δηλαδή |
| .(Εσωτερικό γινόμενο , Προβολή )
Που είναι η απόλυτη τιμή της ορίζουσας των συντεταγμένων.