|
Να δείξτε ότι το σύνολο V = {(x,y,z) | x,y,z ÎR και x+y = 1} δεν είναι υπόχωρος του R×R×R |
To (0,0,0) δεν ανήκει στον V, οπότε ο V δεν είναι υπόχωρος του R×R×R.
|
Να δείξτε ότι το σύνολο V = {(x,y,z) | x,y,z Î R και x·x = z·z } δεν είναι υπόχωρος του R×R×R. |
(1,1,1) και (1,1,-1) ανήκουν στο V αλλά το άθροισμα τους (1,2,0) δεν ανήκει.
|
Να δείξτε ότι το σύνολο V = {(x,y,z) | x,y,z Î R και x + 2y + z = 0} είναι υπόχωρος του R×R×R. |
" r,s Î R, και " (x,y,z) και (x',y',z') ÎV, έχουμε x + 2y + z = 0 ; x' + 2y' + z' = 0 και
r(x,y,z)+s(x',y',z') = (rx+sx',ry+sy',rz+sz')
Τώρα, είναι αρκετό να δειχθεί ότι (rx+sx',ry+sy',rz+sz') ανήκει στο V. (rx+sx',ry+sy',rz+sz') Î V Û rx + sx'+2ry + 2 rsy' + rz + sz' = 0 Û r(x + 2y + z) + s(x' + 2y' + z') = 0 το τελευταίο αληθεύειδιότι x + 2y + z = 0 και x' + 2y' + z' = 0
| Εξετάστε αν Μ = {(r, r+2, 0) | r Î R} είναι ένας υπόχωρος του R×R×R. |
Το (0,0,0) δεν ανήκει στο M, άρα το σύνολο M δεν είναι υπόχωρος του R×R×R.
|
Αν S είναι ο παραγόμενος χώρος από το διάνυσμα (2, 5, 3) και T είναι ο παραγόμενος χώρος από το διάνυσμα (2, 0, 5). H διατομή των S και T είναι ένας διανυσματικός χώρος. Να βρεθεί αυτός ο χώρος. |
S = {k·(2,5,3) | k ÎR}
T = {m·(2,0,5) | m ÎR}
Tο μοναδικό κοινό διάνυσμα είναι το (0,0,0).
H διατομή των συνόλων SÇT είναι ο διανυσματικός χώρος {(0,0,0)}.
| Δείξτε ότι τα διανύσματα {(1,2,3) , (2,3,4) , (3,4,5) } δεν αποτελούν βάση του R×R×R. |
Tα τρία διανύσματα είναι γραμμικώς εξαρτημένα
Û υπάρχουν k,l,m όχι όλα μηδέν τέτοια ώστε
l(1,2,3)+m(2,3,4)+n(3,4,5)=(0,0,0)
Û όταν το παρακάτω σύστημα έχει λύση άλλη πέραν της μηδενικής
1.l + 2.m + 3.n = 0
2.l + 3.m + 4.n = 0
3.l + 4.m + 5.n = 0
Û
| 1 2 3|
| 2 3 4| = 0 !
| 3 4 5|
| Να βρεθεί μια βάση του R×R×R περιλαμβάνουσα τα διανύσματα (1,2,5) και (0,1,2). |
H διάσταση είναι 3, οπότε χρειαζόμαστε ένα διάνυσμα (a,b,c) τέτοιο ώστε (1,2,5) , (0,1,2) και (a,b,c) να είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Tα τρία διανύσματα είναι γραμμικώς εξαρτημένα
Û υπάρχουν k,l,m όχι όλα μηδέν τέτοια ώστε
l(1,2,5)+m(0,1,2)+n(a,b,c)=(0,0,0)
Û Το παρακάτω ομογενές σύστημα έχει μη μηδενική λύση
1.l + 2.m + 5.n = 0
0.l + 1.m + 2.n = 0
a.l + b.m + c.n = 0
Û
| 1 2 5|
| 0 1 2| = 0
| a b c|
Yπάρχουν πολλές επιλογές ώστε το σύστημα να έχει μόνο
την μηδενική λύση π.χ. a=0 , b=0, και c=1 !
|
Γνωρίζοντας ότι v και w είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα, αποδείξτε ότι v , w και (v + w) είναι γραμμικώς εξαρτημένα διανύσματα. |
Εφ'όσον v + w = 1.v + 1.w , το διάνυσμα (v + w) είναι γραμμικός συνδυασμός των v και w.
| Να βρεθούν οι συντεταγμένες του διανύσματος (3,2,1) ως προς την βάση ((1,0,2),(2,1,0),(0,3,5)) στον R3. |
Έστω ότι (x,y,z) είναι οι ζητούμενες συντεταγμένες, τότε
(3,2,1) = x(1,0,2)+y(2,1,0)+z(0,3,5)
Û
/ x+2y+0z = 3
| 0x+y+3z = 2
\ 2x+0y+5z= 1
Û
x = 1/17 ; y = 25/17 ; z = 3/17
Να βρεθεί ο χώρος των λύσεων του γραμμικού συστήματος
3x + 2y + 6z = 0
-x - y + 2z = 0
2x + y + 8z = 0
|
Η τρίτη εξίσωση είναι γραμμικός συνδυασμός των δύο πρώτων.
Έτσι, το σύστημα είναι ισοδύναμο με
3x + 2y + 6z = 0
-x - y + 2z = 0
Για κάθε τιμή του z, ύπάρχει ακριβώς μια λύση για το σύστημα.
x = -10z ; y = 12z ; z = z
Οι λύσεις είναι {(-10z,12z,z) | όπου z ÎR}
Aυτές οι λύσεις απαρτίζουν έναν μονοδιάστατο χώρο
με βάση π.χ. το διάνυσμα (-10,12,1) .
|
Αν S είναι ο παραγόμενος χώρος από τα διανύσματα {(2,5,3),(1,0,2)} και T είναι ο παραγόμενος χώρος από τα διανύσματα {(2,0,5),(3,5,5)}. H διατομή των S και T είναι ένας διανυσματικός χώρος. Να βρεθεί η διάσταση αυτού του χώρου. |
S = { r(2,5,3) + s(1,0,2) | r,s ÎR}
T = { m(2,0,5) + n(3,5,5) | m,n ÎR}
Το (x,y,z) είναι ένα στοιχείο της διατομής τότε και μόνον τότε
εάν υπάρχουν r, s , m, n τέτοια ώστε
(x,y,z) = r(2,5,3) + s(1,0,2) = m(2,0,5) + n(3,5,5)
Û υπάρχουν r, s , m, n τέτοια ώστε
2r + s = 2m + 3n
5r = 5n
3r +2s = 5m + 5n
Û υπάρχουν r, s , m, n τέτοια ώστε
2r + s - 2m - 3n = 0
5r - 5n = 0
3r +2s - 5m - 5n = 0
Αυτό είναι ένα ομογενές σύστημα με 4 αγνώστους και 3 εξισώσεις.
Λύνοντας το σύστημα με ελεύθερη μεταβλητή το n έχουμε:
r=n, s=n, m=0
Οπότε για κάθε επιλογή του n υπάρχει και ένα διάνυσμα
της διατομής SÇT.
H διάσταση του χώρου είναι 1.
| Γνωρίζοντας ότι v και w είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα , δείξτε ότι και τα v , (v + w) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα. |
rv + s(v + w) = 0
Þ (r+s)v + sw = 0
εφ'όσον v και w είναι γραμμικώς ανεξάρτητα
Þ r+s = 0 and s = 0
Þ r = s = 0
Þ v και (v + w) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα.
|
Ποιά συνθήκη πρέπει να πληρούν τα r και s ώστε τα διανύσματα (r,2,s) , (r+1,2,1) και (3,s,1) είναι γραμμικώς εξάρτημένα. |
(r,2,s) , (r+1,2,1) and (3,s,1) είναι γραμμικώς εξάρτημένα
Û
Υπάρχουν k,l,m όχι όλα μηδέν έτσι ώστε
k(r,2,s) + l(r+1,2,1) + m(3,s,1) = 0
Û
Το σύστημα
r.k + (r+1).l + 3.m = 0
2.k + 2. l + s.m = 0
s.k + 1. l + 1.m = 0
έχει λύση διαφορετική από την μηδενική.
Û
½ r r+1 3½
½ 2 2 s½ = 0
½ s 1 1½
Û
rs2 +s2 - rs -6s + 4 = 0
Βρείτε για κάθε m, τη διάσταση του γραμμοχώρου του πίνακα
[2 m m-1]
[3 m 2 ]
[1 0 m+1]
|
Η ορίζουσα του είναι
|2 m m-1|
|3 m 2 | = ...=2m(1-m)
|1 0 m+1|
1 : m είναι διάφορο του 0 και του 1
o πίνακας γίνεται
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
Η διάσταση είναι 1
2 : m = 0 ; O πίνακας γίνεται
[1 0 0]
[0 0 1]
[0 0 0]
H διάσταση είναι 2
3 : m = 1 ; Ο πίνακας γίνεται
[1 0 2]
[0 1 -4]
[0 0 0]
H διάσταση είναι 2
Βρείτε για κάθε m, τη διάσταση του χώρου των λύσεων του συστήματος
3x + 2y + mz = 0
mx - y + 4z = 0
2x + y + 3z = 0
|
|3 2 m|
|m -1 4| = ...=(m-5)(m+1)
|2 1 3|
1 : m είναι διάφορο του 5 και του -1
Η μοναδική λύση είναι x = y = z = 0.
Ο δε χώρος των λύσεων είναι {(0,0,0)}
2 : m = -1 ; Το σύστημα γίνεται
3x + 2y - z = 0
-x - y + 4z = 0
2x + y + 3z = 0
Η τρίτη εξίσωση είναι το άθροισμα των δύο άλλων
και το σύστημα είναι ισοδύναμο προς το
3x + 2y - z = 0
-x - y + 4z = 0
ή προς το
x = -7z
y = 11z
Ο χώρος των λύσεων είναι {(-7,11,1)·z | με z ÎR}
3 : m = 5 ; Το σύστημα γίνεται
3x + 2y + 5z = 0
5x - y + 4z = 0
2x + y + 3z = 0
Η τρίτη εξίσωση είναι γραμμικός συνδυασμός των
άλλων δύο και το σύστημα είναι ισοδύναμο προς το
3x + 2y + 5z = 0
5x - y + 4z = 0
ή ισοδύναμο προς το
x = -z
y = -z
Ο χώρος των λύσεων είναι {(-1,-1,1)·z | με z ÎR}
|
Στον διανυσματικό χώρο V=R×R×R, παίρνουμε το σύνολο S = {(4,5,6) , (k,5,1) , (4,3,2)} Να βρεθούν οι τιμές του k για τις οποίες ο χώρος που παράγεται από το S δεν είναι ο V. |
Εάν τα τρία διανύσματα του S είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε ο διανυσματικός χώρος που παράγεται από το S είναι ο V. Οπότε το (k,5,1) πρέπει να είναι γραμμικός συνδυασμός των (4,5,6) και (4,3,2).
Αυτό σημαίνει:
|k 5 1|
|4 5 6| =0
|4 3 2|
Û k = 9