Eπιστροφή
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ (2)
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Άσκηση-1
Να εξετασθεί αν τα παρακάτω τρία διανύσματα, με v ακέραιο και μεγαλύτερο του 2, ( 1 , 4 , 9 , ... , v2 ) , ( 4 , 9 , 16 , ... , (v+1)2 ) , ( 9 , 16 , 25 , ... , (v+2)2 ) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα ή γραμμικώς εξαρτημένα.
Άσκηση-2
Να εξετασθεί αν το σύνολο των λύσεων του συστήματος
|
2x - 7|y| - 5z = 0 |
|
x - 2|y| - 3z = 0 |
είναι υπόχωρος του R3 .
Άσκηση-3
Να εξετασθεί αν το σύνολο W = {( x , y ) : x > 0 , y > 0 } είναι υπόχωρος του R2.
Άσκηση-4
Να εξετασθεί αν το σύνολο W = {( x , y , z ) : x > y > z } είναι υπόχωρος του R3.
Άσκηση-5
Δίνεται το σύνολο W που περιέχει ως στοιχεία του όλα τα διανύσματα (x, y, z, u, v) του R5 που έχουν εσωτερικό γινόμενο με τα διανύσματα ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5) και ( 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) συγχρόνως ίσο με το 0. Να βρεθεί ένα σύνολο διανυσμάτων που να παράγει το W .
Άσκηση-6
Να δειχθεί ότι ο παραγόμενος υπόχωρος W του R3 από τα τρία διανύσματα
( 3 , 2 , 1 ) , ( 5 , 2 , 3 ) , ( 11 , 6 , 5 )
είναι ένα επίπεδο και να βρεθεί η εξίσωσή του.
Άσκηση-7
Να εξετασθεί αν τα διανύσματα
ak = ( k , k+1 , k+2 , . . . , v+k-1 ) , όπου k = 1 , 2 , 3 , . . . , v είναι γραμμικώς ανεξάρτητα ή γραμμικώς εξαρτημένα.
Άσκηση-8
Δίνονται τα διανύσματα { 1 , 2 , 3 } , { -1 , 2 , -1 } τα οποία έχουν εσωτερικό γινόμενο μηδέν. Να βρεθεί ένα τρίτο διάνυσμα που να έχει και με τα δύο εσωτερικό γινόμενο μηδέν,και να είναι και τα τρία μαζύ μια βάση του R3. Στη συνέχεια να δείξετε ότι m διανύσματα (όλα διάφορα του μηδενικού) που ανα δύο έχουν εσωτερικό γινόμενο μηδέν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Άσκηση-9
Για κάθε ομάδα διανυσμάτων να βρείτε μια ορθοκανονική βάση.
a) ( 4 , 4 , 7 ) , ( -4 , 2 , 5 ) , ( 3 , 5 , 7 )
b) ( 2 , 2 , 7 , 8 ) , ( -4 , 4 , -4 , -2 ) , ( -1 , 2 , -5 , -4 )
c) ( 1 , 5 , 7 , 11 ) , ( 0 , 3 , 4 , 5 ) , ( -1 , 2 , -1 , -4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 4 )
d) ( 3 , 6 , 6 ) , ( 3 , 4 , 5 ) , ( 2 , 5 , 0 )
e) ( 4 , 4 , 7 ) , ( 4 , 5 , 9 ) , ( 3 , 11 , 5 )
f) ( 12 , 12 , 14 ) , ( 12 , 14 , 17 ) , ( 3 , 11 , 5 )
Άσκηση-10
Να βρεθεί ένα ομογενές σύστημα του οποίου το σύνολο των λύσεων W παράγεται από τα διανύσματα
( 1 , -2 , 0 , 3 ) , ( 1 , -1 , -1 , 4 ) , ( 1 , 0 , -2 , 5 ).
Eπιστροφή